Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,757

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Шерстнева Н.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Смоленский государственный университет»
В статье показано, как система компьютерной математики Maple может быть использована при изучении темы «Интегральное исчисление функций нескольких переменных». Приведены примеры, иллюстрирующие процесс вычисления тройного интеграла и раскрывающие прикладной характер данного материала.
двойной и тройной интеграл
приложения кратных интегралов в геометрии
система компьютерной математики Maple
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учеб. пособие для вузов / Бугров Я.С., Никольский С.М. – М., Наука, 1997. – 446 с.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2005. – 558 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2: учеб. пособие для вузов / Пискунов Н.С. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 544 с.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3: учеб. пособие для вузов / Фихтенгольц Г.М. – М., 1963 – 656 с.

Тема «Интегральное исчисление функций нескольких переменных» занимает важное место в образовательном процессе в высшей школе. Она имеет большое значение, как в самой математике, так и широко используется при решении прикладных задач. При этом, чтобы сделать процесс математического моделирования изучаемых практических задач более наглядным и понятным оказываются полезными различные пакеты систем компьютерной математики, в частности, можно применить систему Maple.

Цель исследования. Рассмотреть возможности системы компьютерной математики Maple для вычисления кратных интегралов и решения прикладных задач.

Материал исследования. Рассмотрим несколько примеров, связанных с вычислением кратных интегралов или с их приложениями в геометрии, и покажем возможности решения данных заданий в системе Maple.

Пример 1. Вычислить интеграл

sherst1.wmf,

где тело (V) ограничено поверхностями x = 2, y = 2x, y = 0, z = 0, z = xy.

sher1.tif

 

Решение. Так как выполнение пространственных чертежей вручную весьма затруднительно, то воспользуемся компьютером для создания наглядного образа. Сначала попытаемся использовать одинаковый масштаб по осям координат:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(2),(u),(v)],u=0..4,v=0..2*u,axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),(2*u),(v)],u=0..2,v=0..(u^2)*2,axes=normal):

> A3:=plot3d([(u),(0),(v)],u=0..2,v=0..0,axes=normal):

> A4:=plot3d([(u),(v),(0)],u=0..2,v=0..2*u,axes=normal):

> A5:=plot3d([(u),(v),(u*v)],u=0..2,v=0..2*u,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z],scaling=constrained);

Как видно, этот подход не очень удачен. Поэтому для наглядности иллюстрации воспользуемся разным масштабом по осям координат:

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z]);

sher2.tif

Область является правильной относительно всех осей. При проектировании тела на плоскость Оху получим:

> inequal({y<x*2,x=2,y=0},x=0..2,y=0..4,optionsfeasible=(color=green),optionsexcluded= (color=white),axes=normal,labels=[x,y],

scaling=CONSTRAINED);

sher2a.tif

Исходный интеграл сводится к повторному:

sherst2.wmf = sherst3.wmf=

=sherst4.wmf = sherst5.wmfsherst6.wmf =

= sherst7.wmfsherst8.wmf = sherst9.wmfsherst10.wmf =

sherst11.wmfsherst12.wmf = sherst13.wmf.

Вычисление интеграла в Maple происходит следующим образом:

> with(student):

> Tripleint((x*z)^2, z=0..x*y, y=0..2*x, x=0..2);

sher1a.tiff

> value(%);

sher1b.tif

Пример 2. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидом sherst14.wmf и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости Oxy прямыми x = ±1, y = ±1.

Решение. Прежде всего, делаем рисунок с помощью системы Maple:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(u),(v),(4-u^2-v^2)], u=-1..1,v=-1..1,

axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),(v),(0)],u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A3:=plot3d([(1),(u),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A4:=plot3d([(-1),(u),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A5:=plot3d([(u),(1),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A6:=plot3d([(u),(-1),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5,A6}, labels=[x,y,z],scaling=constrained, view = [-1.5 .. 1.5, -1.5 .. 1.5, 0 .. 4.5]);

sher3.tif

Так как основанием бруса служит квадрат со сторонами, параллельными координатным осям Ox и Oy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. Используя формулу

sherst15.wmf,

получим:

V = sherst16.wmf =

= sherst17.wmf =

=sherst18.wmf = sherst19.wmf =

= sherst20.wmfsherst21.wmf = 13sherst22.wmf.

Вычисление интеграла в Maple выглядит следующим образом:

> with(student):

> Doubleint(4-x^2-y^2, y=-1..1, x=-1..1);

sher2c.tiff

> value(%);

sher2d.tiff

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности sherst23.wmf, вырезанной цилиндром sherst24.wmf.

Решение. Контуром проекции вырезанной части на плоскость Оху является лемниската sherst25.wmf.

Построим общий вид пересекающихся поверхностей:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(u),(v),((u^2+v^2)/2)], u=-4..4,v=-4..4,axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),((1/2)*sqrt(-2-4*u^2+2*sqrt(8*u^2+1))),(v)], u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A3:=plot3d([(u),(-(1/2)*sqrt(-2-4*u^2+2*sqrt(8*u^2+1))),(v)],u=-1..1, v=-1..1,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z],scaling=constrained,view = [-1.5 .. 1.5, -1.5 .. 1.5, 0 .. 1]);

sher4.tif

Построим вырезаемую цилиндром поверхность:

sher3a.tiff

sher5.tif

Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Из уравнения параболоида

sherst26.wmf

получим подынтегральную функцию, для которой

sherst27.wmf,

sherst28.wmf.

Следовательно,

sherst29.wmf.

Преобразуем интеграл к полярным координатам sherst30.wmf. Подынтегральная функция запишется в виде

sherst31.wmf,

а уравнение лемнискаты – в виде

sherst32.wmf,

или sherst33.wmf. Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей Охz, Oyz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости Oxz:

sherst34.wmf,

откуда

sherst35.wmf.

Вычисление интеграла в Maple:

> with(student):Doubleint(4*rho*sqrt(1+rho^2), rho=0..sqrt(cos(2*phi)), phi=0..Pi/4);

sher6.tiff

> value(%);

sher7.tif

Заключение

Применение в учебном процессе не только «ручных», но и компьютерных вычислений делает процесс математического моделирования ситуации более наглядным и представимым для обучающихся (особенно в случае трёхмерного пространства); позволяет уменьшить трудоёмкость выкладок (что особенно важно при изучении курса высшей математики на непрофильных направлениях подготовки) и сравнить математический и компьютерный методы решения одной и той же математической проблемы (что полезно для студентов профильного уровня обучения).

sher1.tif

Библиографическая ссылка

Шерстнева Н.А. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11-2. – С. 231-234;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=8382 (дата обращения: 23.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074