Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,431

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЪЕКТЕ ХРАНЕНИЯ ОПАСНЫХ ВЕЩЕСТВ С ПОЛОСТЬЮ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ПЯТИ)

Мусаев В.К. 1
1 МГМУ
Приводится информация о численном моделировании волн напряжений в объекте сложной формы. Рассматриваются некоторые вопросы решения задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ. С помощью метода конечных элементов дифференциальные уравнения в частных производных приведены к линейной задаче Коши с начальными условиями. С помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями приведена к явной двухслойной конечноэлементной линейной схеме в перемещениях для внутренних и граничных узловых точках исследуемой области. За основные неизвестные в узле конечного элемента приняты два упругих перемещения и две скорости упругих перемещений. Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях по пространственным координатам получены с помощью принципа возможных перемещений, то есть с помощью метода динамического равновесия внутренних и внешних сил. Поставленная задача решается с помощью методов вычислительной механики. Для решения задачи используется численный метод, алгоритм и комплекс программ, разработанный автором статьи. Получены компоненты тензора напряжений в характерных областях исследуемой задачи. Приводятся контурные напряжения на свободной поверхности упругой полуплоскости. Показано, что полости увеличивают безопасность окружающей среды от взрывных воздействий в объекте хранения опасных веществ.
вычислительный эксперимент
воздействие
импульс
взрывная волна
воздействие в виде треугольника
волновая теория взрывной безопасности
численное моделирование
объект хранения опасных веществ
вертикальная прямоугольная полость
упругая полуплоскость
неотражающие граничные условия
контурное напряжение
компоненты тензора напряжений
безопасность окружающей среды
1. Мусаев В.К. Численное моделирование динамического напряженного состояния сооружений уравнениями двумерной теории упругости и пластичности. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04. – М.: Совинтервод, 1993. – 46 с.
2. Мусаев В.К. Численное, аналитическое и экспериментальное решение задачи о концентрации нестационарных динамических напряжений в свободном круглом отверстии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 4. – С. 67–71.
3. Мусаев В.К. Компьютерное моделирование задачи об отражении плоских продольных упругих, вязких и пластических волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 81–93.
4. Мусаев В.К. О достоверности результатов математического моделирования нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2014. – № 3. – С. 71–76.
5. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.
6. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде дельта функции // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2 (часть 1). – С. 25–30.
7. Мусаев В.К. Численное моделирование вертикального сосредоточенного упругого импульсного воздействия в виде дельта функции на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2 (часть 2). – С. 220–223.
8. Мусаев В.К. Определение нестационарного напряженного состояния при вертикальном сосредоточенном взрывном воздействии на набережной речного порта с незаполненным водным объектом // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 88–92.
9. Musayev V.K. Estimation of accuracy of the results of numerical simulation of unsteady wave of the stress in deformable objects of complex shape // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2015. – Volume 11, Issue 1. – P. 135–146.
10. Musayev V.K. On the mathematical modeling of nonstationary elastic waves stresses in corroborated by the round hole // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2015. – Volume 11, Issue 1. – P. 147–156.

Постановка задачи

Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY (рис. 1), которому в начальный момент времени musai2.wmf сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

muss1.tif

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

musai3.wmf, musai4.wmf,

musai5.wmf,

musai6.wmf,

musai7.wmf, musai8.wmf,

musai9.wmf, musai10.wmf, musai11.wmf,

musai12.wmf, (1)

где musai13.wmf, musai14.wmf и musai15.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; musai16.wmf, musai17.wmf и musai18.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; musai19.wmf – плотность материала; musai20.wmf – скорость продольной упругой волны; musai21.wmf – скорость поперечной упругой волны; musai22.wmf – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; musai23.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ

Конечноэлементное моделирование позволяет задачу с бесконечным числом неизвестных привести к задаче с конечным числом неизвестных, решение которой принципиально возможно на вычислительных машинах.

С помощью конечноэлементного моделирования получаем приближенное решение дифференциальной задачи, то есть задачи с начальными и граничными условиями.

В работах [1–10] приводится информация о численном моделировании нестационарного динамического напряженного состояния сложных систем с помощью разработанного метода и о постановке безопасности сложных систем.

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musai26.wmf, musai27.wmf,

musai28.wmf, (2)

где musai29.wmf – диагональная матрица инерции; musai30.wmf – матрица жесткости; musai31.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musai32.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musai33.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musai34.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musai35.wmf,

musai36.wmf. (3)

Шаг по временной переменной координате musai37.wmf выбирается из следующего соотношения

musai38.wmf musai39.wmf, (4)

где musai40.wmf – длина стороны конечного элемента.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.

В работах приведена информация о достоверности численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы с помощью разработанного метода, алгоритма и комплекса программ [1–4, 9–10].

Решение задачи о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рассмотрим задачу о воздействии взрывной волны (рис. 3) в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти) (рис. 2).

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.

По нормали к контуру IJKL приложено нормальное напряжение musai41.wmf, которое при musai42.wmf (musai43.wmf) изменяется линейно от 0 до Р, а при musai46.wmf от Р до 0 (musai49.wmf). На контуре JI приложено нормальное напряжение musai50.wmf (musai51.wmf= musai52.wmf, musai53.wmf= 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре KL приложено нормальное напряжение musai54.wmf (musai55.wmf= musai56.wmf, musai57.wmf= – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)).

muss 2.tif

Рис. 2. Постановка задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 3.tif

Рис. 3. Взрывное воздействие в виде типа дельта функции для задачи с полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

На контуре IL приложено нормальное напряжение musai58.wmf (musai59.wmf= musai60.wmf, musai61.wmf= 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре JK приложено нормальное напряжение musai62.wmf (musai63.wmf= musai64.wmf, musai65.wmf= – 0,1 МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура PQRA при musai66.wmf musai67.wmf. Отраженные волны от контура PQRA не доходят до исследуемых точек при musai68.wmf. Контур ABCDEFGHMNOP свободен от нагрузок.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: musai69.wmf; Δt = 1,393⋅10-6 с; E= 3,15⋅104 МПа (3,15⋅105 кгс/см2); ν=0,2; ρ=0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10–5 кгс с2/см4); musai73.wmf= 3587 м/с; musai74.wmf= 2269 м/с.

muss 4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения musai75.wmf во времени musai76.wmf в точке А1: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения musai77.wmf во времени musai78.wmf в точке А2: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения musai79.wmf во времени musai80.wmf в точке A3: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Исследуемая расчетная область имеет 14250 узловых точек. Решается система уравнений из 57000 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения musai82.wmf (musai83.wmf) во времени n в точках musai85.wmf (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H).

Выводы

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего контурного напряжения musai86.wmf в 1,462 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего контурного напряжения musai88.wmf в 1,66 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения musai90.wmf в 1,51 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения musai92.wmf в 1,84 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения musai94.wmf в 1,52 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения musai96.wmf в 1,81 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего касательного напряжения musai98.wmf в 1,81 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего касательного напряжения musai100.wmf в 1,54 раза.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЪЕКТЕ ХРАНЕНИЯ ОПАСНЫХ ВЕЩЕСТВ С ПОЛОСТЬЮ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ПЯТИ) // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 12-3. – С. 353-358;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=9125 (дата обращения: 12.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074