Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,431

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ

Далингер В.А. 1
1 Омский государственный педагогический университет
1. Калинин С.И. Обучение студентов математическому анализу в целях фундаментализации высшего педагогического образования: монография. – Киров: Изд-во ВятГПУ, 2008. – 353 с.
2. Калинин С.И. О применении выпуклых функций в вопросе решения уравнений // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педагогическом вузе в условиях фундаментализации образования: материалы всероссийской научной конференции, г. Саранск, 4 – 6 октября 2005 г. / под ред Г.И. Саранцева. – Саранск: Изд-во МорГПИ, 2005. – С. 179 – 180.
3. Математический энциклопедический словарь. – М.: Научное изд-во «Большая российская энциклопедия», 1995. – 847 с.
4. Чучаев И.И., Денисова Т.В. Выпуклые функции и уравнения // Математика в школе. – 2005. – № 5. – С. 41 – 47.

В данной статье мы рассмотрим уравнение вида

dali001.wmf,

где dali002.wmf, p+q=1, u,v, dali003.wmf – функции относительно искомого неизвестного x; f – некоторая функция.

Для решения таких уравнений надо будет использовать понятия функции выпуклой на промежутке l и функции вогнутой на промежутке l.

Выпуклая функция – функция, графиком которой является выпуклая кривая. Выпуклая функция может быть выпуклой вверх (рис. 1) или выпуклой вниз (рис. 2). Иногда выпуклой называют только функцию, выпуклую вверх, а функцию, выпуклую вниз – вогнутой функцией.

dal1.wmf

Рис. 1

dal2.wmf

Рис. 2

Функция dali004.wmf называется выпуклой вверх (вниз) на отрезке dali005.wmf, если кажется дуга графика этой функции лежит не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Более обстоятельно это определение выглядит так [3].

Определение 1. Пусть dali006.wmf – уравнение прямой, проходящей через точки dali007.wmf и dali008.wmf. Если dali009.wmf при dali010.wmf, где dali011.wmf и dali012.wmf – любые точки на отрезке dali013.wmf, то dali014.wmf выпукла вверх (вниз). При этом если dali015.wmf при dali016.wmf, то dali017.wmf называется строго выпуклой вверх (вниз).

Из математического анализа известно, что функция непрерывная на отрезке dali018.wmf и дважды дифференцируемая на интервале dali019.wmf, является выпуклой вверх (вниз), тогда и только тогда, когда dali020.wmf dali021.wmf на этом интервале.

Функцию на выпуклость и вогнутость исследуют с помощью второй производной, но в ряде случаев это можно сделать элементарными методами.

Условие выпуклости и вогнутости графика функции заключается в следующем. Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [a; b] и график функции на этом отрезке выпуклый (рис. 3). Возьмем на отрезке [a; b] два любых значения аргумента х1 и х2 (х1 < х2). Тогда значениями ординат точек А и В графика функции соответственно будут f(x1) и f(x2). Посредине между точками х1 и х2 возьмем точку

dali022.wmf.

Тогда

dali023.wmf.

Так как по условию график функции выпуклый, то для любых значений х1 и х2 из отрезка [a; b] точка графика функции С должна лежать выше точки С1 хорды АВ, то есть DC > DC1. Из трапеции Ах1х2В находим ее среднюю линию

dali024.wmf.

Таким образом, если график функции у = f(x) выпуклый на отрезке [a; b], то для любых двух значений аргумента х1 и х2 из этого отрезка должно выполняться неравенство

dali025.wmf. (1)

dal3.wmf

Рис. 3

Аналогично можно показать, что если график функции у = f(x) вогнутый на отрезке [a; b], то для любых значений х1 и х2 из этого отрезка выполняется неравенство

dali026.wmf. (2)

Справедливо и обратное утверждение: если для функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], при всех значениях х1, х2 из этого отрезка выполняется неравенство (1), то график функции на этом отрезке выпуклый, а если выполняется неравенство (2), то график функции на этом отрезке вогнутый.

Неравенства (1) и (2) есть необходимое и достаточное условия выпуклости и вогнутости графика функции.

Дадим несколько другой подход к понятию выпуклой функции [1, 2].

Определение 2. Функция f называется выпуклой на промежутке l (l – произвольный промежуток на Ox) если для любого отрезка dali028.wmf, принадлежащего l, и любого числа ?, ? dali029.wmf, выполняется неравенство

dali030.wmf. (*)

Определение 3. Функция f называется вогнутой на промежутке l, если для любого отрезка dali033.wmf, принадлежащего l, и любого числа ?, ?dali035.wmf, выполняется неравенство

dali036.wmf. (**)

Неравенства (*) и (**) называются неравенствами Иенсена. Известен критерий выпуклости функции на промежутке [1]:

Теорема 1. Функция dali037.wmf является выпуклой на промежутке l тогда и только тогда, когда для любых dali038.wmf и любых dali039.wmf, таких, что dali040.wmf, выполняется неравество

dali041.wmf. (***)

Теорема 2. Если функции f и q являются выпуклыми на промежутке l числовой прямой, то на этом промежутке их сумма dali043.wmf также выпукла.

Теорема 3. Если в уравнении

dali044.wmf

функция dali045.wmf является строго выпуклой вверх или строго вогнутой вниз на промежутке X, функции

dali047.wmf, dali048.wmf

такие, что при всех x из области определения уравнения (D) их значения содержатся в X и выполняется условие dali049.wmf, то заданное уравнение на множестве

dali050.wmf

равносильно уравнению

dali051.wmf.

Задача. Найдите неположительные корни уравнения

dali052.wmf.

Решение

Областью определения заданного уравнения является решение системы

dali053.wmf,

то есть промежуток [–7;11].

Разделив обе части заданного уравнения на 3 (сумму коэффициентов при радикалах левой или правой частей уравнения), перепишем его в виде

dali055.wmf.

Это уравнение имеет вид

dali056.wmf,

где dali057.wmf,

при этом

dali058.wmf

Функция dali059.wmf является строго выпуклой вверх на неположительной части числовой прямой. Действительно это так, потому что выполняется условие, отмеченное в теореме 1:

dali060.wmf (3)

dali061.wmf

dali062.wmf.

Множество D1, фигурирующее в теореме 3, для уравнения (3) есть множество [–7;0].

Таким образом, на отрезке [–7;0] исходное уравнение равносильно уравнению

dali063.wmf, откуда dali064.wmf.

Следовательно, найденный корень единственный искомый отрицательный корень исходного уравнения.

Проверка показывает, что dali065.wmf действительно является корнем исходного уравнения.

При dali066.wmf имеем:

dali067.wmf,

dali068.wmf=dali069.wmf.

Для самостоятельного решения предлагаем задачи, заимствованные из работы [1].

Задача. Решите уравнение

dali070.wmf.

Ответ:

dali071.wmf.

Задача. Найдите неотрицательные корни уравнения

dali072.wmf.

Ответ: dali073.wmf.

Задача. Найдите неположительные корни уравнения

dali074.wmf.

Ответ: dali075.wmf.

Задача. Решите уравнение

dali076.wmf.

Ответ: dali077.wmf

Задача. Решите уравнение

dali078.wmf.

Ответ: dali079.wmf.

Задача. Решите уравнение

dali080.wmf.

Ответ:

dali081.wmf.


Библиографическая ссылка

Далингер В.А. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ // Международный журнал экспериментального образования. – 2017. – № 3-1. – С. 93-96;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=11250 (дата обращения: 20.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074