Научный журнал

Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159

ИФ РИНЦ = 0,425

• Авторы
• Файлы
• Литература

Далингер В.А. 1

---

1 Омский государственный педагогический университет

Статья в формате PDF

0 KB

1. Калинин С.И. Обучение студентов математическому анализу в целях фундаментализации высшего педагогического образования: монография. – Киров: Изд-во ВятГПУ, 2008. – 353 с.

2. Калинин С.И. О применении выпуклых функций в вопросе решения уравнений // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педагогическом вузе в условиях фундаментализации образования: материалы всероссийской научной конференции, г. Саранск, 4 – 6 октября 2005 г. / под ред Г.И. Саранцева. – Саранск: Изд-во МорГПИ, 2005. – С. 179 – 180.

3. Математический энциклопедический словарь. – М.: Научное изд-во «Большая российская энциклопедия», 1995. – 847 с.

4. Чучаев И.И., Денисова Т.В. Выпуклые функции и уравнения // Математика в школе. – 2005. – № 5. – С. 41 – 47.

В данной статье мы рассмотрим уравнение вида

,

где , p+q=1, u,v, – функции относительно искомого неизвестного x; f – некоторая функция.

Для решения таких уравнений надо будет использовать понятия функции выпуклой на промежутке l и функции вогнутой на промежутке l.

Выпуклая функция – функция, графиком которой является выпуклая кривая. Выпуклая функция может быть выпуклой вверх (рис. 1) или выпуклой вниз (рис. 2). Иногда выпуклой называют только функцию, выпуклую вверх, а функцию, выпуклую вниз – вогнутой функцией.

Рис. 1

Рис. 2

Функция называется выпуклой вверх (вниз) на отрезке , если кажется дуга графика этой функции лежит не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Более обстоятельно это определение выглядит так [3].

Определение 1. Пусть – уравнение прямой, проходящей через точки и . Если при , где и – любые точки на отрезке , то выпукла вверх (вниз). При этом если при , то называется строго выпуклой вверх (вниз).

Из математического анализа известно, что функция непрерывная на отрезке и дважды дифференцируемая на интервале , является выпуклой вверх (вниз), тогда и только тогда, когда на этом интервале.

Функцию на выпуклость и вогнутость исследуют с помощью второй производной, но в ряде случаев это можно сделать элементарными методами.

Условие выпуклости и вогнутости графика функции заключается в следующем. Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [a; b] и график функции на этом отрезке выпуклый (рис. 3). Возьмем на отрезке [a; b] два любых значения аргумента х1 и х2 (х1 < х2). Тогда значениями ординат точек А и В графика функции соответственно будут f(x1) и f(x2). Посредине между точками х1 и х2 возьмем точку

.

Тогда

.

Так как по условию график функции выпуклый, то для любых значений х1 и х2 из отрезка [a; b] точка графика функции С должна лежать выше точки С1 хорды АВ, то есть DC > DC1. Из трапеции Ах1х2В находим ее среднюю линию

.

Таким образом, если график функции у = f(x) выпуклый на отрезке [a; b], то для любых двух значений аргумента х1 и х2 из этого отрезка должно выполняться неравенство

. (1)

Рис. 3

Аналогично можно показать, что если график функции у = f(x) вогнутый на отрезке [a; b], то для любых значений х1 и х2 из этого отрезка выполняется неравенство

. (2)

Справедливо и обратное утверждение: если для функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], при всех значениях х1, х2 из этого отрезка выполняется неравенство (1), то график функции на этом отрезке выпуклый, а если выполняется неравенство (2), то график функции на этом отрезке вогнутый.

Неравенства (1) и (2) есть необходимое и достаточное условия выпуклости и вогнутости графика функции.

Дадим несколько другой подход к понятию выпуклой функции [1, 2].

Определение 2. Функция f называется выпуклой на промежутке l (l – произвольный промежуток на Ox) если для любого отрезка , принадлежащего l, и любого числа ?, ? , выполняется неравенство

. (*)

Определение 3. Функция f называется вогнутой на промежутке l, если для любого отрезка , принадлежащего l, и любого числа ?, ?, выполняется неравенство

. (**)

Неравенства (*) и (**) называются неравенствами Иенсена. Известен критерий выпуклости функции на промежутке [1]:

Теорема 1. Функция является выпуклой на промежутке l тогда и только тогда, когда для любых и любых , таких, что , выполняется неравество

. (***)

Теорема 2. Если функции f и q являются выпуклыми на промежутке l числовой прямой, то на этом промежутке их сумма также выпукла.

Теорема 3. Если в уравнении

функция является строго выпуклой вверх или строго вогнутой вниз на промежутке X, функции

,

такие, что при всех x из области определения уравнения (D) их значения содержатся в X и выполняется условие , то заданное уравнение на множестве

равносильно уравнению

.

Задача. Найдите неположительные корни уравнения

.

Решение

Областью определения заданного уравнения является решение системы

,

то есть промежуток [–7;11].

Разделив обе части заданного уравнения на 3 (сумму коэффициентов при радикалах левой или правой частей уравнения), перепишем его в виде

.

Это уравнение имеет вид

,

где ,

при этом

Функция является строго выпуклой вверх на неположительной части числовой прямой. Действительно это так, потому что выполняется условие, отмеченное в теореме 1:

(3)

.

Множество D1, фигурирующее в теореме 3, для уравнения (3) есть множество [–7;0].

Таким образом, на отрезке [–7;0] исходное уравнение равносильно уравнению

, откуда .

Следовательно, найденный корень единственный искомый отрицательный корень исходного уравнения.

Проверка показывает, что действительно является корнем исходного уравнения.

При имеем:

,

=.

Для самостоятельного решения предлагаем задачи, заимствованные из работы [1].

Задача. Решите уравнение

.

Ответ:

.

Задача. Найдите неотрицательные корни уравнения

.

Ответ: .

Задача. Найдите неположительные корни уравнения

.

Ответ: .

Задача. Решите уравнение

.

Ответ:

Задача. Решите уравнение

.

Ответ: .

Задача. Решите уравнение

.

Ответ:

.

Библиографическая ссылка