Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,440

ОБ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЁХ ТЕЛ

Омарова У.Ш. 1 Турешбаев А.Т. 1 Енсебаева Г.М. 1 Нурова Г.Ж. 1
1 Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата
Рассматривается ограниченная фотогравитационная круговая задача трех тел. Для случая равных масс основных тел, обращающихся друг относительно друга по круговым орбитам, получены уравнения пространственных прямолинейных движений пассивно-гравитирующей точки. Доказано существование в окрестности начала координат периодических решений для определенного множества значений параметров системы.
Задачи трех тел
треугольные точки либрации
периодические движения
фотогравитационные задачи трех тел
1. Куницын А.Л. Турешбаев А.Т.Письма в АЖ..// 1983, т. 9, №7, С. 432-435.
2. Kunitsyn A.L. and Tureshbaev A.T. Celestial Mechanics //1985, Y.35, p. 105-112.
3. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Письма в АЖ.// 1985, т. II , №2, С. 145-148.
4. Турешбаев А.Т. Письма в Астрон. журн.// 1986. т. 12, № 9, С. 722-725.
5. Турешбаев А.Т. Тематический сборник научных трудов МАИ //1987 г., С. 28-31.
6. Пережогин А.А., Турешбаев А.Т. Астрон. журн.// т.66, вып.4, С. 859-865.
7. Турешбаев А.Т. ВИНИТИ . //1985, № 7, 207-В, Деп.
8. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Материалы Всесоюзного совещания "Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики"// Алма-Ата: Наука, 1990, С. 32-36.
9. Моисеев Н.Н. Ассимптотические методы нелинейной механики // М.: Наука,1981.

В работах [1-8], посвященных динамике частицы в поле двух гравитирующих и излучающих тел, обращающихся относительно центра масс по круговым или эллиптическим орбитам, было установлено существование трехпараметрического семейства коллинеарных [1,2,7], треугольных [3,7] и компланарных [4,5,6] точек либрации и исследована их устойчивость по Ляпунову. В эллиптической задаче для малых значений эксцентритета орбиты получены пространственные периодические решения вблизи компланарных точек[8]. В данной работе устанавливается существование пространственных периодических движений вдоль оси, перпендикулярной плоскости орбитального движения основных тел и проходящей через их центр масс и в окрестности начала координат. С точки зрения приложений задача в такой постановке может иметь повышенный интерес при изучении динамики частиц космической пылевой материи в поле двойных звездных систем.

Поместим начало О прямоугольной системы координат oxyz в центр масс двух гравитирующих и излучающих тел, считаемых материальными точками и обращающихся друг относительно друга по круговым орбитам; ось ox проведем вдоль прямой, соединяющей основные тела, а ось oz - перпендикулярно плоскости их орбитального движения в сторону, откуда оно видно происходящим против хода часовой стрелки. Тогда уравнения движения частицы в прямоугольной барицентрической равномерно вращающейся вокруг оси oz вместе с основными телами (звездами) системе координат oxyz можно записать в виде [1]:

om1.tif (1)

где

om2.tif - силовая функция:

om3.tif, om4.tif;

μ, 1-μ - безразмерные массы тел (звезд),

x1=-μ, x2=-1-μ- их абсциссы соответственно,

r1 и r2- расстояния частицы до каждой из звезд;

q1 и q2 - коэфициенты редукции массы частицы, представляющие отношение разности гравитационной и репульсивной сил к гравитационной силе [7].

Рассматривая случай равных масс μ = 1 - μ =om5.tif , будем искать частное решение системы (1) при

om6.tif, om7.tif

При этом первые два уравнения (1) удовлетворяются тождественно. Тогда уравнение движений изучаемой частицы примет вид:

om8.tif, (2)

где om9.tif - силовая функция, соответствующая om10.tif.

Из (2) видно, что при z = 0 система имеет место равновесие. Уравнение (2) имеет первый интеграл

om11.tif, (3)

 

представляющий собой интеграл энергии, из которого мы находим

om12.tif (4)

Потенциальная энергия П(z) в точке z=0 при q1+q2>0 имеет изолированный минимум. Применяя метод фазовой плоскости, нетрудно убедиться в том, что траектории этой системы в достаточно малой окрестности положения равновесия представляют собой замкнутые кривые, т.е. движения, которые они описывают, являются периодическими [9]. Таким образом, все решения в окрестности минимума потенциальной энергии периодические.

Из (4) определим период

om13.tif, (5)

где om14.tif- корень уравнения om15.tif относительно z .

Итак, полученное нами решение имеет место при условии x=y=0. Однако теорема Ляпунова позволяет доказать существование периодических движений в окрестности начала координат, когда х и у om35.tif0 . Для этого надо быть уверенным в существовании голоморфного первого интеграла и в отсутствии у системы корней вида om36.tif2mi ,где m=0,1,2,…. Таким интегралом системы является

om16.tif (6)

Теперь составим уравнения возмущенного движения в окрестности положения равновесия x*=y*=z*=0. Для этого в системе (1) полагая

om17.tif om18.tif om19.tif

имеем

om20.tif

om21.tif

om22.tif (7)

где индекс "0" означает результат подстановки х=у=z=0.

Вычислим вторые производные (все смешанные производные равны нулю):

om23.tif

om24.tif (8)

om25.tif

Здесь cxx,cyy,czz - коэффициенты устойчивости.

Тогда уравнения в вариациях, отвечающие системе уравнений (7) возмущенного движения, имеют вид:

om26.tif,

om27.tif, (9)

om28.tif

Характеристическое уравнение этой системы:

om29.tif,

или

om30.tif, (10)

om31.tif

где om32.tif, om33.tif, om34.tif.

Видим, что для определенного множества значений параметров q1, q2 система может иметь пару чисто мнимых простых корней. Следовательно, условия теоремы Ляпунова, гарантирующие существование периодических по t , аналитически зависящих от одного параметра (начального отклонения например, величины x) решений, выполнены.


Библиографическая ссылка

Омарова У.Ш., Турешбаев А.Т., Енсебаева Г.М., Нурова Г.Ж. ОБ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЁХ ТЕЛ // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 5-2. – С. 109-112;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=5740 (дата обращения: 09.07.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074