В работах [1-8], посвященных динамике частицы в поле двух гравитирующих и излучающих тел, обращающихся относительно центра масс по круговым или эллиптическим орбитам, было установлено существование трехпараметрического семейства коллинеарных [1,2,7], треугольных [3,7] и компланарных [4,5,6] точек либрации и исследована их устойчивость по Ляпунову. В эллиптической задаче для малых значений эксцентритета орбиты получены пространственные периодические решения вблизи компланарных точек[8]. В данной работе устанавливается существование пространственных периодических движений вдоль оси, перпендикулярной плоскости орбитального движения основных тел и проходящей через их центр масс и в окрестности начала координат. С точки зрения приложений задача в такой постановке может иметь повышенный интерес при изучении динамики частиц космической пылевой материи в поле двойных звездных систем.
Поместим начало О прямоугольной системы координат oxyz в центр масс двух гравитирующих и излучающих тел, считаемых материальными точками и обращающихся друг относительно друга по круговым орбитам; ось ox проведем вдоль прямой, соединяющей основные тела, а ось oz - перпендикулярно плоскости их орбитального движения в сторону, откуда оно видно происходящим против хода часовой стрелки. Тогда уравнения движения частицы в прямоугольной барицентрической равномерно вращающейся вокруг оси oz вместе с основными телами (звездами) системе координат oxyz можно записать в виде [1]:
(1)
где
- силовая функция:
,
;
μ, 1-μ - безразмерные массы тел (звезд),
x1=-μ, x2=-1-μ- их абсциссы соответственно,
r1 и r2- расстояния частицы до каждой из звезд;
q1 и q2 - коэфициенты редукции массы частицы, представляющие отношение разности гравитационной и репульсивной сил к гравитационной силе [7].
Рассматривая случай равных масс μ = 1 - μ = , будем искать частное решение системы (1) при
,
При этом первые два уравнения (1) удовлетворяются тождественно. Тогда уравнение движений изучаемой частицы примет вид:
, (2)
где - силовая функция, соответствующая
.
Из (2) видно, что при z = 0 система имеет место равновесие. Уравнение (2) имеет первый интеграл
, (3)
представляющий собой интеграл энергии, из которого мы находим
(4)
Потенциальная энергия П(z) в точке z=0 при q1+q2>0 имеет изолированный минимум. Применяя метод фазовой плоскости, нетрудно убедиться в том, что траектории этой системы в достаточно малой окрестности положения равновесия представляют собой замкнутые кривые, т.е. движения, которые они описывают, являются периодическими [9]. Таким образом, все решения в окрестности минимума потенциальной энергии периодические.
Из (4) определим период
, (5)
где - корень уравнения
относительно z .
Итак, полученное нами решение имеет место при условии x=y=0. Однако теорема Ляпунова позволяет доказать существование периодических движений в окрестности начала координат, когда х и у 0 . Для этого надо быть уверенным в существовании голоморфного первого интеграла и в отсутствии у системы корней вида
2mi ,где m=0,1,2,…. Таким интегралом системы является
(6)
Теперь составим уравнения возмущенного движения в окрестности положения равновесия x*=y*=z*=0. Для этого в системе (1) полагая
имеем
(7)
где индекс "0" означает результат подстановки х=у=z=0.
Вычислим вторые производные (все смешанные производные равны нулю):
(8)
Здесь cxx,cyy,czz - коэффициенты устойчивости.
Тогда уравнения в вариациях, отвечающие системе уравнений (7) возмущенного движения, имеют вид:
,
, (9)
Характеристическое уравнение этой системы:
,
или
, (10)
где ,
,
.
Видим, что для определенного множества значений параметров q1, q2 система может иметь пару чисто мнимых простых корней. Следовательно, условия теоремы Ляпунова, гарантирующие существование периодических по t , аналитически зависящих от одного параметра (начального отклонения например, величины x) решений, выполнены.
Библиографическая ссылка
Омарова У.Ш., Турешбаев А.Т., Енсебаева Г.М., Нурова Г.Ж. ОБ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ФОТОГРАВИТАЦИОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЁХ ТЕЛ // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 5-2. – С. 109-112;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=5740 (дата обращения: 17.08.2024).