Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,440

НЕЧЕТКИЕ БАЙЕСОВСКИЕ ТЕСТЫ

Мочалов И.А. 1 Шихаб Еддин М.Я. 2
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 Российский университет дружбы народов
1. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978.
2. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974.
3. Горелик А.Л., Скрипкин В.А., Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1977.
4. Viertl R., Hule H. On Bayes’ theorem inference // Statistical papers. 1991. № 32. Р. 115-122.
5. Fruhwirth-Schnatter S. On fuzzy Bayezian inference // Fuzzy sets and systems. 1993. № (60). Р. 41-58.

В теории проверки статистических гипотез используются различные критерии оптимальности при выборе правила решения относительно принятия той или иной из гипотез.

Теорема Байеса в терминах плотностей устанавливает связь между апостериорной f(x|H) и априорной f(x|H) плотностями гипотезы H:

missing image file

где x – вектор значений случайного вектора X; f(H) – априорная плотность гипотезы H; µ – символ пропорциональности. В математической статистике плотность f(x|H) принято называть сопряженной относительно плотности f(x|H).

Четкий байесовский тест
без функции потерь [1]

Пусть в простейшем случае имеются две
четкие гипотезы H0 и H1. Для принятия одной из них производятся измерения (эксперимент), в результате которых появляется вектор x = (x1, …, xn) измерений. Полагается, что компоненты Xi, missing image file случайного вектора
X = (X1, …, Xn) независимы и missing image file,
где f(·) – заданная плотность распределения. В соответствии с теоремой
Байеса имеем:

missing image file

Так как априорные вероятности P(x|Hi) выражаются через соответствующие плотности f(x|Hi) : P(x|Hi) = f(x|Hi) dx1 ... dxn, поэтому (2) приводится к виду:

missing image file,

где missing image file – четкое отношение правдоподобия; missing image file – порог; P(Hi), i = 0, 1 – априорные вероятности появления, соответственно, гипотез H0, H1.

В соответствии с (2) возможны следующие ситуации:

если

missing image file missing image file,

тогда принимается гипотеза H0, т.е.missing image file и, соответственно, отвергается H1, т.е. missing image file;

если

missing image file missing image file,

тогда missing image file и, соответственно, missing image file.

Нечеткие апостериорные
распределения [3, 4]

Ниже теорема Байеса в формулировке (1) обобщается на случай нечетких данных и нечетких параметров априорных распределений. Обобщение основано на принципе расширения [15], с помощью которого находится нечеткий образ для нечеткого аргумента при воздействии нечеткого отображения. В этой задаче нечеткие данные и параметры, заданные соответствующими функциями принадлежностей, представляются в эквивалентной уровневой форме. Такое представление позволяет нечеткое апостериорное распределение интерпретировать как семейство четких распределений.

Случай 1. Экспериментальные данные – нечеткие, параметры априорных распределений – четкие.

Задача формулируется в следующем виде. Имеется теорема Байеса в ненормализованной форме (1):

missing image file.

Полагается, что случайный вектор
X = (X1, …, Xn) имеет независимые компоненты, а вектор измерений x = (x1, …, xn) имеет нечеткие компоненты xi, missing image file с заданными функциями принадлежностей mi(x), x ∈ R1. Предполагается, что вектор параметров a = (a1, …, an) имеет четкие компоненты, т.е. missing image file, missing image file. В этих условиях необходимо построить нечеткую апостериорную плотность:

missing image file.

Решение сформулированной задачи демонстрируется на примерах, приведенных ниже.


Библиографическая ссылка

Мочалов И.А., Шихаб Еддин М.Я. НЕЧЕТКИЕ БАЙЕСОВСКИЕ ТЕСТЫ // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 8-2. – С. 83-84;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=5892 (дата обращения: 13.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074