Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,431

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМЫ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Барышевский С.О. 1
1 Мелитопольский государственный педагогический университет имени Богдана Хмельницкого
1. Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.
2. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие графы и гиперграфы. – М.: Научный мир, 2005. – 256 с.
3. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. / пер. с англ.: под ред. Аверкина А.Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.
4. Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 52. – С. 141–144.
5. Баришевський С.О. Точкові нечіткі множини та їх відображення // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 54. – С 3–8.

В последнее время рассмотрение основных вопросов теории нечетких множеств проводится в основном без широкого привлечения аппарата нечеткой логики [1]. Так же, как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в теории нечетких множеств по нашему мнению должна использоваться нечеткая логика как в узком (FL.n), так и в широком (FL.b) смысле [3].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение основ теории нечетких множеств и понятия системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики.

Основные понятия теорий нечетких множеств и нечёткой логики будем полагать такими же как и в [1–5].

Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть baryshev01.wmf и baryshev02.wmf – нечеткие множества в Х, причём

baryshev03.wmf

baryshev04.wmf

где величины μA(x) и μB(x) понимаются как нечеткие высказывательные переменные.

Введем понятие степени включения baryshev05.wmf нечеткого множества baryshev06.wmf в нечеткое множество baryshev07.wmf, которое находится по формуле

baryshev08.wmf

где «→» – операция нечеткой импликации, а baryshev09.wmf – операция нечеткой конъюнкции, которая берется по всем x ∈ X. Естественно, что аналогичным образом можно определить и степень включения baryshev10.wmf нечеткого множества baryshev11.wmf в множество baryshev12.wmf [2; 4].

Если baryshev13.wmf, то будем полагать, что множество baryshev14.wmf нечетко включается во множество baryshev15.wmf, и обозначать baryshev16.wmf. Если baryshev17.wmf, то считаем, что множество baryshev18.wmf нечетко не включается во множество baryshev19.wmf, обозначается baryshev20.wmf [2; 4].

Определим степень равности нечетких множеств baryshev21.wmf и baryshev22.wmf выражением

baryshev23.wmf

где «↔» – операция нечеткой эквивалентности. Если baryshev24.wmf, то будим полагать, что множества baryshev25.wmf и baryshev26.wmf нечетко равны, и обозначать baryshev27.wmf. Если baryshev28.wmf, то считаем, что множества baryshev29.wmf и baryshev30.wmf нечетко не равны, и обозначаем baryshev31.wmf В случае, когда baryshev32.wmf, множества baryshev33.wmf и baryshev34.wmf одновременно нечетко равны и не равны. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают baryshev35.wmf [2; 4].

Если baryshev36.wmf и baryshev37.wmf, то будем говорить, что baryshev38.wmf нечетко строго включается во множество baryshev39.wmf.

Объединением множеств baryshev40.wmf и baryshev41.wmf назовем нечеткое множество определяемое как

baryshev42.wmf

где baryshev43.wmf здесь ˅ – нечеткая дизъюнкция, а baryshev44.wmf – нечеткое высказывание, определяющее степень принадлежности элемента x ∈ X множеству baryshev45.wmf которое является таким, что baryshev46.wmf и baryshev47.wmf [2].

Пересечением множеств baryshev48.wmf и baryshev49.wmf называется нечеткое множество определяемое как

baryshev50.wmf

где baryshev51.wmf Здесь нечеткая конъюнкция, а baryshev52.wmf – нечеткие высказывание, определяющее степень истинности принадлежности элемента x ∈ X множеству baryshev53.wmf, которое является таким, что baryshev54.wmf и baryshev55.wmf [2].

Разностью множеств baryshev56.wmf и baryshev57.wmf называется нечеткое множество где

baryshev58.wmf

Здесь ¬ –операция нечеткого отрицания, а baryshev59.wmf – нечеткое высказывание, определяется степень принадлежности элемента x ∈ X множеству baryshev60.wmf.

Симметрическая разность baryshev61.wmf и baryshev62.wmf называется нечеткое множество baryshev63.wmf, где baryshev64.wmf которое является нечетким высказыванием, определяющим степень принадлежности элемента x ∈ X множеству baryshev65.wmf.

Рассмотрим основные определения систем нечетких множеств. Системой нечетких множеств baryshev66.wmf некоторого множества baryshev67.wmf будем называть нечеткое множество, элементами которого являются нечеткие множества, baryshev68.wmf. При этом Х – любое множество, содержащее все множества системы baryshev69.wmf однако, среди них всегда можно выбрать наибольшее, которое называется единицей системы baryshev70.wmf Ясно что, единица нечетко совпадают с объединением всех нечетких подмножеств этой системы.

Кольцом нечетких подмножеств некоторого нечеткого множества baryshev71.wmf называется система baryshev72.wmf, замкнутая относительно операций нечеткого объединения, нечеткого пересечения, и нечеткой разницы, то есть из того что baryshev73.wmf следует, что baryshev74.wmf baryshev75.wmf, baryshev76.wmf. Очевидно, что нечеткая симметрическая разность также принадлежит кольцу.

Алгеброй baryshev77.wmf нечетких множеств называется кольцо, содержащее единицу baryshev78.wmf. σ – кольцом называется нечеткое кольцо, замкнутое относительно операции нечеткого счетного объединения; σ – алгеброй, называется σ – кольцо с baryshev79.wmf. Полукольцом нечетких подмножеств некоторого множества baryshev80.wmf называется система baryshev81.wmf, замкнутая относительно операции нечеткого пересечения, содержащая baryshev82.wmf и такое, что если baryshev83.wmf, baryshev84.wmf, то baryshev85.wmf, baryshev86.wmf.

В данной работе изложено элементы теории нечетких множеств и рассмотрены основные системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики как в узком так и в широком смысле. Полученные в работе результаты в дальнейшем могут быть использованы для построения теории меры абстрактных нечетких множеств.


Библиографическая ссылка

Барышевский С.О. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМЫ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 10-1. – С. 39-40;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=8499 (дата обращения: 15.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074