где

- силовая функция:

, ;

μ, 1-μ - безразмерные массы тел (звезд),

x1=-μ, x2=-1-μ- их абсциссы соответственно,

r1 и r2- расстояния частицы до каждой из звезд;

q1 и q2 - коэфициенты редукции массы частицы, представляющие отношение разности гравитационной и репульсивной сил к гравитационной силе [7].

Рассматривая случай равных масс μ = 1 - μ = , будем искать частное решение системы (1) при

,

При этом первые два уравнения (1) удовлетворяются тождественно. Тогда уравнение движений изучаемой частицы примет вид:

, (2)

где - силовая функция, соответствующая .

Из (2) видно, что при z = 0 система имеет место равновесие. Уравнение (2) имеет первый интеграл

, (3)

представляющий собой интеграл энергии, из которого мы находим

(4)

Потенциальная энергия П(z) в точке z=0 при q1+q2>0 имеет изолированный минимум. Применяя метод фазовой плоскости, нетрудно убедиться в том, что траектории этой системы в достаточно малой окрестности положения равновесия представляют собой замкнутые кривые, т.е. движения, которые они описывают, являются периодическими [9]. Таким образом, все решения в окрестности минимума потенциальной энергии периодические.

Из (4) определим период

, (5)

где - корень уравнения относительно z .

Итак, полученное нами решение имеет место при условии x=y=0. Однако теорема Ляпунова позволяет доказать существование периодических движений в окрестности начала координат, когда х и у 0 . Для этого надо быть уверенным в существовании голоморфного первого интеграла и в отсутствии у системы корней вида 2mi ,где m=0,1,2,…. Таким интегралом системы является

(6)

Теперь составим уравнения возмущенного движения в окрестности положения равновесия x*=y*=z*=0. Для этого в системе (1) полагая

имеем

(7)

где индекс "0" означает результат подстановки х=у=z=0.

Вычислим вторые производные (все смешанные производные равны нулю):

(8)

Здесь cxx,cyy,czz - коэффициенты устойчивости.

Тогда уравнения в вариациях, отвечающие системе уравнений (7) возмущенного движения, имеют вид:

,

, (9)

Характеристическое уравнение этой системы:

,

или

, (10)

где , , .

Видим, что для определенного множества значений параметров q1, q2 система может иметь пару чисто мнимых простых корней. Следовательно, условия теоремы Ляпунова, гарантирующие существование периодических по t , аналитически зависящих от одного параметра (начального отклонения например, величины x) решений, выполнены.