Оптимальное управление течением вязкоупругих сред представляет интерес, как в теоретических исследованиях, так и при решении многих прикладных задач. В данной заметке обсуждаются условия, при которых разрешима нелинейная система, описывающая оптимальное управление течением жидкости типа Олдройда [1] в ограниченной области трёхмерного пространства. Постановка задачи оптимизации обобщает известные постановки А.В. Фурсикова [2] для системы уравнений Навье–Стокса. В качестве управляющих параметров используются внешняя сила f, действующая на поток, и распределение скоростей v на границе области, в которой происходит течение. Управляющие параметры выбираются из заданного множества пар допустимых управлений. При надлежащем выборе функциональных пространств и обобщённой (слабой) формулировке соответствующей краевой задачи (по поводу определения слабых решений для модели Олдройда см. [3–6]) удается установить разрешимость управляемой системы, т. е. показать существование допустимых пар «управление-состояние». Следующий шаг – это решение задачи оптимизации, т.е. нахождение пары «управление-состояние», на которой достигается минимум заданного функционал качества. Основной результат работы: если множество допустимых управлений ограничено и замкнуто в соответствующем пространстве, функционал качества ограничен снизу, слабо полунепрерывен снизу и удовлетворяет условию коэрцитивности (см. условие (5.10) в [2]), то задача оптимизации разрешима и множество решений слабо замкнуто.

Отметим, что близкая по постановке задача оптимизации рассматривается в [7]. Кроме того, в работе [8] установлена аппроксимативная управляемость (с границы) для линеаризованных уравнений модели Олдройда.