В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач в области распространения волн напряжений в строительных объектах при нестационарных сейсмических воздействиях. Рассматриваемые физические процессы решаются с помощью методов математического моделирования, который в настоящее время является одним из мощных инструментов исследования.

Некоторые результаты в области целого комплекса проблем волнового воздействия на сооружения с окружающей средой рассмотрены в следующих работах [1–10].

Для решения краевой задачи используется метод конечных элементов в перемещениях. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов (однородный алгоритм). Решение двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями осуществляем с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Для решения поставленной задачи используем метод конечных элементов в перемещениях. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для некоторого тела, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, ,

, (1)

где – матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (1) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (1).

Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Для интегрирования уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

, . (2)

Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

,

, (3)

где – шаг по временной переменной.

Шаг по временной переменной определяем из следующего соотношения

, (4)

где – длина стороны конечного элемента; C_p – скорость распространения продольной волны.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной схемы.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения.

Некоторая информация о достоверности разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–7, 9–10].

1. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.

Рис. 1. Постановка задачи для свободного круглого отверстия

В сечении на расстоянии 1,9Н (рис. 1) при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до P ( ( МПа)), а при . Контур круглого отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при . Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,18 м; ∆t = 0,407·10^-5 c; E = 0,36·104 MПа; n = 0,36; r = 0,122·104 кг/м³; С_r = 1841 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Контур круглого отверстия аппроксимирован 28 узловыми точками.

2. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.

Рис. 2. Постановка задачи для свободного квадратного отверстия

В сечении на расстоянии 1,9H (рис. 2) при скорость упругого перемещений изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 ( ( МПа)). Контур квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 . Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.

3. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,8H (рис. 3) при 0 ≤ n ≤ 10 скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 (( МПа (–1 кгс/см²))). Контур выреза ABCDEF (кроме точки B) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHA при Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1464 узловых точек.

Рис. 3. Постановка задачи для выреза треугольного профиля

4. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 4) при () скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до , а при ( МПа). Внутренний контур подкрепленного отверстия ABCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 . Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при .

Рис. 4. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия

Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,2 м; ∆t₁ = 0,186·10^-5 c; E₁= 0,72·10⁵ MПа; ν₁= 0,3; ρ₁= 0,275·10⁴ кг/м³; С_p1 = 5364 м/с; ∆t₂ = 0,407·10^-5 c; E₂ = 0,36·10⁴ MПа; ν₂ = 0,36; ρ₂ = 0,122 · 10⁴ кг/м³; С_p2 = 1841 м/с (…1 – подкрепление; …2 – среда).

Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.

5. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.

Рис. 5. Постановка задачи для подкрепленного квадратного отверстия

Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 5) при скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до , а при ( МПа). Внутренний контур подкрепленного квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 . Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при . Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие.

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие.

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля.

Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие.

Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.

Методика, алгоритм, комплекс программ и результаты решенных задач рекомендуются для использования в научно-технических организациях, специализирующихся в области динамического расчета сооружений с окружающей средой.

Математическое моделирование позволяет учесть инженерные объекты при решении задач о безопасности территорий при нестационарных волновых сейсмических воздействиях.