Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

APPLICATION OF INFORMATION TECHNOLOGIES FOR STUDY OF CONTINUOUS RANDOM VARIABLES IN THE COURSE OF PROBABILITY THEORY

Samsonova S.A. 1
1 Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education «Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov»
The article describes the features of studying under «Random variables» in the course «Theory of Probability and Mathematical Statistics» with the help of information technology. In the study of discipline students significantly improve the quality of learning outcomes will enable the use of Mathcad universal mathematical package, intended to carry out engineering and scientific calculations. The use of stochastic mathematical packages in preparation contributes to the formation of the students an adequate idea of the place, the role and the wide possibilities of modern information technology in solving a variety of problems of probability theory and mathematical statistics. The article clearly presented the possibility of using mathematical package Mathcad in the study of continuous random variables, the calculation of numerical characteristics. In the particular example shown in finding the density of the random variable probability plotting.
students
a probability
information technologies

Современные информационные и коммуникационные технологии, предоставляя широкие возможности для создания и внедрения эффективных методов и форм обучения, основанных на их применении, являются одной из основных составляющих предмета подготовки студента – будущего специалиста. Вопросы, посвященные компьютерно-ориентированным методикам изучения различных тем школьного и вузовского курсов математики, рассматриваются в работах Е.В. Ашкинузе, Я.А. Ваграменко, Ю.С. Брановского, С.Г. Григорьева, В.В. Гриншкуна, В.П. Дьяконова, В.А. Далингера, Г.Л. Луканкина, В.Р. Майера, И.В. Роберт, А.В. Якубова и др.

Продуктивность использования информационных технологий в обучении стохастике (теории вероятностей и математической статистике) обеспечивается реализацией совокупности условий, которые способствуют включению студентов в активную и многовариантную учебную деятельность, формированию их стохастической и информационной культуры в активную и многовариантную учебную деятельность, формированию их стохастической и информационной культуры [5].

По нашему мнению, при изучении студентами теории вероятностей и математической статистики значительно повысить качество результатов обучения позволит использование универсального математического пакета Mathcad, предназначенного для выполнения инженерных и научных расчетов [1-4]. Целесообразность его применения при решении вероятностных и статистических задач обоснована нами в работе [5].

Рассмотрим более подробно возможности применения Mathcad при изучении темы «Непрерывные случайные величины».

Так, для введения нужной функции плотности вероятности достаточно удобно использовать окно Insert Function (сочетание клавиш [Ctrl]+[Shift]+[F]), в котором требуемые встроенные функции находятся в списке Probability Density (Плотность вероятности). Известно, что для вычисления функции распределения можно найти посредством интегрирования плотности вероятности. Благодаря наличию в Mathcad специальной встроенной функции pnorm(x, m, s) можно производить необходимые вычисления, не находя «неберущийся» сложный несобственный интеграл.

Посредством встроенной функции dnorm (x, s, a) (приставка d от англ. density – плотность) вычисляется плотность нормального распределения. Плотность вероятности р(х) и теоретическая функция распределения F(х) стандартного нормального распределения находят таким образом:

sam01.wmf

sam02.wmf

Большое значение для усвоения понятий плотности распределения и функции распределения случайной величины, их свойств имеет геометрическая интерпретация, обеспечивающая, главным образом, развивающую функцию обучения, высокую умственную активность, пространственное и геометрическое мышление студентов.

В MathCAD для стандартного нормального распределения имеются следующие встроенные функции, благодаря которым можно вычислить квантили:

qnorm(0.5, 0, 1) = 0 – медиана;

qnorm(0.25, 0, 1) = -0.674 – нижняя квартиль;

qnorm(0.75, 0, 1) = 0.674 – верхняя квартиль;

qnorm(0.95, 0, 1) = 1.645 – 0.95-квантиль.

Для того чтобы вычислить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал посредством использования нормированной функции распределения (при дисперсии s2 и математическом ожидании а), как правило, используют затабулированную функцию Лапласа – нормированную функцию вероятности (полагают а = 0, s = 1). При решении подобных задач посредством пакета не требуется применять нормированные функции вероятности в связи с тем, в данную систему уже встроены алгоритмы численного интегрирования, позволяющие быстро вычислить функцию распределения в стандартном виде. Если же задачу необходимо решить традиционным способом, то в данном случае можно применить cnorm(x) – специальную встроенную функцию, в основе которой лежит формула Лапласа.

Значение нормальной функции распределения с математическим ожиданием, равным нулю и среднеквадратическим отклонением, равным единице, вычисляется с помощью функции pnorm(x, 0, 1).

Для показательного распределения плотность вероятности можно найти в MathCAD, используя специальную функцию dexp(х, l), а функцию распределения – при помощи рехр(х, l) (рис. 1).

samson1.wmf

Рис. 1

Математическое ожидание и дисперсию показательного распределения можно вычислить, используя средства аналитического интегрирования.

sam03.wmf.

Символьное вычисление параметров показательного распределения: математического ожидания

sam04.wmf

и дисперсии

sam05.wmf

При этом необходимо в обоих случаях ввести на величину параметра λ какое-либо ограничение посредством оператора Assume панели Symbolic. Если этого не сделать, получим некорректные результаты в виде общих выражений с пределами, причем в случае дисперсии результат будет очень большим.

Рассмотрим следующий пример. Дана двумерная случайная величина (ξ, η), равномерно распределенная в круге x2 + y2 ≤ 1. Требуется найти плотности вероятности компонент данной случайной величины и построить графики. Найти условные плотности вероятностей величины х при у = 0; 0,5; 0,8 и построить графики.

Решение. Сначала вычислим плотность вероятностей случайной величины (ξ, η).

sam06.wmf

sam07.wmf sam08.wmf

В пакете вычисления по формулам осуществляются одновременно с их набором. Переменные, формулы, а также параметры можно изменять, наблюдая мгновенно изменения результата вычислений.

Найдем распределение плотности вероятностей величины ξ

sam09.wmf

Вычислим распределение плотности вероятностей величины η

sam10.wmf

Строим графики (рис. 2).

samson2.wmf

Рис. 2

Условное распределение плотности вероятностей

sam11.wmf

sam12.wmf

Строим график (рис. 3).

samson3.wmf

Рис. 3

Таким образом, грамотное использование математических пакетов в стохастической подготовке значительно повышает производительность процесса обучения, позволяет сформировать у студентов адекватное представление о месте, роли и широких возможностях современных информационных технологий при решении самых разнообразных задач теории вероятностей.