Рассматриваются вопросы численного моделирования сейсмического воздействия на подземный нефтепровод с основанием в виде полуплоскости. Поставленная задача решается с помощью численного моделирования уравнений нестационарной математической теории упругости.
В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
О постановке динамической задачи теории упругости
Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. При интерференции волн напряжений их интенсивности складываются. Они могут достигать значений, превосходящих предел прочности материала. В этом случае наступает разрушение материала. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении.
В работах [1, 3, 6–8] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
,
, 
,
,
, 
,
, 
,
, 
, (1)
где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; – плотность материала;
– скорость продольной упругой волны;
– скорость поперечной упругой волны;
ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).
Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (3)
Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (4)
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате t и по пространственным координатам, а именно
, (5)
где l – длина стороны конечного элемента.
О моделировании воздействия сейсмической волны на подземный нефтепровод
В работе приводится постановка для четырех задач. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с).
Для рассматриваемых материалов были приняты следующие исходные данные. Для трубы приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 9,309?10-7 с; E = 2,1?106 кгс/см2; = 0,3; = 0,8 10-5 кгс с2/см4; Cp = 5371 м/с; Cs = 3177 м/с. Для основания приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 2,788? 10-6 с; E = 3,15/105 кгс/см2; = 0,2; = 0,255/10-5 кгс с2/см4; Cp = 3587 м/с; Cs = 2269 м/с. Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен 15H. Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Решается система уравнений из 32543720 неизвестных.
1. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом девяносто градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 1). От точки J под углом девяносто градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение x, которое при 0 / n / 25 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при n 25 равно P (P = 0, 0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом девяносто градусов к горизонту на подземный нефтепровод
Рис. 2. Сейсмическое воздействие в виде ступенчатой функции (функция Хевисайда)
2. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом восемьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 3). От точки J под углом восемьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение n, которое при 0 n ? 25 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.
От точки J под углом семьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение ?n, которое при 0 ? n ? 25 (n = t/?t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.
3. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом семьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 4).
Рис. 3. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом восемьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод
Рис. 4. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом семьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод
4. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом шестьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 5). От точки J под углом шестьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение n, которое при 0 ? n ? 25 (n = t/?t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.
Рис. 5. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом шестьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод