Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,425

COMPUTER MODELING OF THE SAFETY OF THE UNDERGROUND OIL PIPELINE NON-STATIONARY SEISMIC LOADING

Musayev V.K. 1
1 Moscow state transport University of Emperor Nicholas II
Reviewed certain information modeling safety of underground pipeline under nonstationary seismic impacts. For the decision of tasks in view are applied to the wave equation of elasticity theory. The task is implemented using numerical simulation of wave equations of elasticity theory. In this case, the wave theory of seismic safety. The problem is solved by the method of end-to-end account, without allocation of breaks. Applies a uniform algorithm. Using the method of finite elements in displacements, a linear problem with initial and boundary conditions led to a linear Cauchy problem. Considered setting four objectives at various angles of approach of seismic impact on underground pipeline. The seismic excitation is modeled as a function of Heaviside. Solve the system of equations of 32543720 unknown.
numerical method
algorithm Musayev V.K.
the programme complex
unsteady elastic waves
dynamics of continuous media
physical and mechanical effects
boundary value problem
wave theory for seismic safety
seismic
seismic resistance
seismic effect
seismic load
fundamental impact
half-plane
non-reflective boundary conditions
the investigated design region
pipeline
underground construction
momentum in the form of a step
function of Heaviside

Рассматриваются вопросы численного моделирования сейсмического воздействия на подземный нефтепровод с основанием в виде полуплоскости. Поставленная задача решается с помощью численного моделирования уравнений нестационарной математической теории упругости.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

О постановке динамической задачи теории упругости

Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. При интерференции волн напряжений их интенсивности складываются. Они могут достигать значений, превосходящих предел прочности материала. В этом случае наступает разрушение материала. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении.

В работах [1, 3, 6–8] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

mus01.wmf,

mus02.wmf, mus03.wmf,

mus04.wmf,

mus05.wmf, mus06.wmf,

mus07.wmf, mus08.wmf,

mus09.wmf, mus10.wmf, (1)

где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; – плотность материала;

mus11.wmf – скорость продольной упругой волны;

mus12.wmf – скорость поперечной упругой волны;

ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; mus13.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mus14.wmf, mus15.wmf, mus16.wmf, (2)

где mus17.wmf – диагональная матрица инерции; mus18.wmf – матрица жесткости; mus19.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus20.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus21.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus22.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

mus23.wmf, mus24.wmf. (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus25.wmf,

mus26.wmf. (4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате t и по пространственным координатам, а именно

mus27.wmf mus28.wmf, (5)

где l – длина стороны конечного элемента.

О моделировании воздействия сейсмической волны на подземный нефтепровод

В работе приводится постановка для четырех задач. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с).

Для рассматриваемых материалов были приняты следующие исходные данные. Для трубы приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 9,309?10-7 с; E = 2,1?106 кгс/см2; = 0,3; = 0,8 10-5 кгс с2/см4; Cp = 5371 м/с; Cs = 3177 м/с. Для основания приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 2,788? 10-6 с; E = 3,15/105 кгс/см2; = 0,2; = 0,255/10-5 кгс с2/см4; Cp = 3587 м/с; Cs = 2269 м/с. Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен 15H. Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Решается система уравнений из 32543720 неизвестных.

1. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом девяносто градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 1). От точки J под углом девяносто градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение x, которое при 0 / n / 25 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при n 25 равно P (P = 0, 0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 mus29.wmf. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.

musR1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом девяносто градусов к горизонту на подземный нефтепровод

musR2.tif

Рис. 2. Сейсмическое воздействие в виде ступенчатой функции (функция Хевисайда)

2. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом восемьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 3). От точки J под углом восемьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение n, которое при 0 n ? 25 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 mus30.wmf. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.

От точки J под углом семьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение ?n, которое при 0 ? n ? 25 (n = t/?t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 mus31.wmf. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.

3. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом семьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 4).

musR3.tif

Рис. 3. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом восемьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод

musR4.tif

Рис. 4. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом семьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод

4. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом шестьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод (рис. 5). От точки J под углом шестьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение n, которое при 0 ? n ? 25 (n = t/?t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ? 25 равно P (P = ?0, ?0 = 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 mus32.wmf. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 ? n ? 3000. Контур KJI свободен от напряжений, кроме точки J. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. На внешней границе контура трубы EFGH и среды приняты условия непрерывности перемещений.

musR5.tif

Рис. 5. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом шестьдесят градусов к горизонту на подземный нефтепровод