Рассматриваются вопросы численного моделирования взрывного воздействия на надземный нефтепровод с основанием в виде полуплоскости.
В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Некоторая информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [6–10].
Постановка волновой задачи нестационарной теории упругости
Для решения задачи о моделировании нестационарных волн в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
,
, 
, (1)
где x, y и xy – компоненты тензора упругих напряжений; x, y и xy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; – плотность материала;
– скорость продольной упругой волны;
– скорость поперечной упругой волны;
– коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Для прогноза безопасности надземного нефтепровода при поверхностных сосредоточенных взрывных воздействиях применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных волновых воздействиях на сооружения. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.
Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.
Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения задач при нестационарных волновых воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.
Постановка задач о воздействии взрывной волны на надземный нефтепровод
В работе приводится постановка для четырех задач. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с).
В работе для исследуемых материалов приняты следующие исходные данные. Для трубы приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 9,3010-7 с; E = 2,1/106 кгс/см2; = 0,3; = 0,8 10-5 кгс с2/см4; Cp = 5371 м/с; Cs = 3177 м/с. Для основания приняты следующие исходные данные: H = x = y; t = 2,788 10-6 с; E = 3,15/105 кгс/см2; = 0,2; = 0,255/10-5 кгс с2/см4; Cp = 3587 м/с; Cs = 2269 м/с. Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен 15H. Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Решается система уравнений из 8016288 неизвестных.
1. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны (рис. 2) на свободной поверхности упругой полуплоскости с надземным нефтепроводом (рис. 1). Взрывное воздействие приложено на расстоянии одного среднего диаметра от края трубы. В точке J перпендикулярно свободной поверхности KGJI приложено сосредоточенное нормальное напряжение y (рис. 1), которое при 0 n 10 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при 10 n 20 от P до 0 (P = 0, 0 = – 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 2000. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KGJI свободен от нагрузок, кроме точки J, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжениеy и точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на надземный нефтепровод с основание в виде упругой полуплоскости (нагрузка приложена на расстоянии одного среднего диаметра от края трубы)
Рис. 2. Взрывное воздействие в виде треугольного импульса
2. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны (рис. 2) на свободной поверхности упругой полуплоскости с надземным нефтепроводом (рис. 3). Взрывное воздействие приложено на расстоянии двух средних диаметров от края трубы. В точке J перпендикулярно свободной поверхности KGJI приложено сосредоточенное нормальное напряжение y (рис. 1), которое при 0 n 10 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при 10 n 20 от P до 0 (P = 0, 0 = – 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 2000. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KGJI свободен от нагрузок, кроме точки J, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение y и точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью.
Рис. 3. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на надземный нефтепровод с основание в виде упругой полуплоскости (нагрузка приложена на расстоянии двух средних диаметров от края трубы)
Рис. 4. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на надземный нефтепровод с основание в виде упругой полуплоскости (нагрузка приложена на расстоянии трех средних диаметров от края трубы)
3. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны (рис. 2) на свободной поверхности упругой полуплоскости с надземным нефтепроводом (рис. 4). Взрывное воздействие приложено на расстоянии трех средних диаметров от края трубы. В точке J перпендикулярно свободной поверхности KGJI приложено сосредоточенное нормальное напряжение y (рис. 1), которое при 0 n 10 (n = t/t) изменяется линейно от 0 до P, а при 10 n 20 от P до 0 (P = 0, 0 = – 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 2000. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KGJI свободен от нагрузок, кроме точки J, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение y и точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью.
Рис. 5. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на надземный нефтепровод с основание в виде упругой полуплоскости (нагрузка приложена на расстоянии четырех средних диаметров от края трубы)
4. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны (рис. 2) на свободной поверхности упругой полуплоскости с надземным нефтепроводом (рис. 5). Взрывное воздействие приложено на расстоянии четырех средних диаметров от края трубы. В точке J перпендикулярно свободной поверхности KGJI приложено сосредоточенное нормальное напряжение y (рис. 1), которое при 0 n 10 (n = t/?t) изменяется линейно от 0 до P, а при 10 n 20 от P до 0 (P = 0, 0 = – 1 кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при t > 0 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 0 n 2000. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KGJI свободен от нагрузок, кроме точки J, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение y и точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью.