Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность школьников.
Особое место в обучении математике занимают текстовые сюжетные задачи. Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится главным образом к следующим функциям: служат усвоению математических понятий и отношений между ними; обеспечивают усвоение учащимися специфических понятий, входящих в предметную область задач; способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости; повышают вычислительную культуру учащихся; учат школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование; способствуют более полной реализации межпредметных связей; развивают у учащихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать; развивают логическое мышление школьников; развивают познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач; формируют универсальные качества личности, такие, как привычка к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию, потребность в контроле и самоконтроле и т.п.; прививают и укрепляют интерес школьников к математике; осуществляют предпрофильную и профильную подготовку учащихся.
В литературе имеют место различные классификации текстовых задач.
Интересна, в плане практического применения, классификация текстовых задач, предложенная Г.В. Дорофеевым, которая основывается на смысле слов и предложений естественного языка, на котором сформулирована задача.
«Целесообразно, – отмечает Г.В. Дорофеев, – выделить два типа задач – задачи, в которых речь идет о некоторой реальной, а более точно о реализованной жизненной ситуации, и задачи потенциального характера, в которых жизненную ситуацию требуется сконструировать, смоделировать, выяснить условия, при которых она реализована» [5, с. 38]. Принципиальное отличие этих двух групп текстовых задач состоит в том, что в одной из них ситуации постулируются, а в другой – нет.
Более детально эту классификацию разработал С.М. Чуканцев [7], положив в основу характер ответа к задаче: возможно ли на практике осуществить изложенную в условии задачи ситуацию или нет. Он особо выделяет задачи, в которых излагаются практически выполнимые ситуации, и задачи с практически невыполнимыми ситуациями. Вследствие чего им выделено четыре вида задач.
1. Задачи на реализованные ситуации, практически выполнимые.
2. Задачи, в условиях которых формально излагаются как бы реализованные ситуации, а фактически – невыполнимые ситуации.
3. Задачи потенциального характера, отражающие практически выполнимые ситуации.
4. Задачи потенциального характера, отражающие практически невыполнимые ситуации.
В школьном курсе математики абсолютное большинство задач – это задачи с реализованной ситуацией и лишь небольшой процент этих задач – это задачи на потенциальное исполнение ситуаций. В практической деятельности человеку чаще всего приходится решать задачи с потенциальной ситуацией, а поэтому методически оправдано увеличение таких задач в школьном курсе математики. Их ценность, как отмечает С.М. Чуканцев [7], состоит в том, что в условиях таких задач формулируется некоторая проблема, решать которую предлагается самим учащимся, а это в большей степени заинтересовывает школьников: интереснее отвечать на вопрос «Что будет?», нежели на вопрос «Что было?».
В нашей классификации [2, 3, 4] текстовые задачи подразделяются следующим образом: задачи на движение; задачи на работу; задачи на проценты; задачи на смеси, сплавы и концентрацию; задачи, в которых неизвестные – целые числа; задачи, для решения которых нужно находить наибольшее или наименьшее значение; задачи, решение которых требует рассмотрения нескольких вариантов; задачи, процесс решения которых приводит к системе уравнений, содержащей уравнений меньше, чем неизвестных; задачи, для решения которых необходимо использовать неравенства.
Полная схема решения текстовых сюжетных задач методом составления уравнений включает такие этапы:
1) объяснение к составлению уравнения;
2) составление уравнения;
3) решение уравнения;
4) проверка;
5) запись ответа;
6) анализ решения задачи.
Рассмотрим более обстоятельно вопрос о проверке при решении текстовых задач. В литературе по методике преподавания математики представлен самый широкий спектр точек зрения на вопрос о проверке.
Ряд исследователей считают, что от учащихся не следует «требовать при решении текстовых задач на составление уравнений «проверки» как обязательного момента решения задачи, так как нет необходимости в такой «проверке» по каким-либо соображениям принципиального характера» [6, с. 46].
Диаметрально противоположного подхода придерживаются другие исследователи, считающие, что «проверка является необходимым элементом решения текстовой задачи; без проверки задача не может считаться решенной» [1, с. 44].
В литературе встречается точка зрения, согласно которой вопрос о проверке решения надо рассматривать с двух сторон: с одной – как один из этапов при решении задачи, а с другой – как составную часть записи ее решения.
Нам представляются наиболее интересными точки зрения Г.В. Дорофеева [5] и В.Г. Болтянского [1] на проблему «проверки».
Г.В. Дорофеев, деля текстовые задачи на две группы, в зависимости от того, реализована ли в них ситуация или же она только потенциально заложена в ней, аргументированно считает, что никакого дополнительного исследования полученного единственного корня не требуют задачи на реализованные ситуации. Корень уравнения, найденный в результате решения текстовой задачи потенциального характера, требует обязательной проверки.
«Задача, в которой речь идет о реализованной ситуации, – пишет Г.В. Дорофеев, – должна считаться полностью решенной, если полученная в ходе ее решения система соотношений (уравнений или неравенств) имеет единственное решение. «Проверка» этого решения каким бы то ни было способом не является логически необходимой. Если же полученная система соотношений имеет несколько решений, то каждое из них подлежит дальнейшему исследованию – «проверке» … Независимо от числа решений этой системы, все они нуждаются в дальнейшем исследовании, и таким образом, в этом случае «проверка» является логически абсолютно необходимой» [5, с. 45].
Несколько другой взгляд на эту проблему у В.Г. Болтянского [1], который верно отмечает, что составленное для решения текстовой задачи уравнение не учитывает ряд ограничений на физические величины, которые должны быть наложены по смыслу задачи, а это приводит к тому, что не все корни составленного уравнения оказываются пригодными для получения решения текстовой задачи, причем это происходит и в случае одного корня.
Анализ показывает, что в любом случае полученный корень уравнения нужно проверять по смыслу задачи.