Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,484

MATHEMATICAL MODELING OF TECHNICAL MEANS OF PROTECTION OF THE ENVIRONMENT FROM THE EFFECTS OF AN AVALANCHE WITH THE WAVE THEORY OF IMPACT SAFETY

Musayev V.K. 1
1 Moscow state transport University of Emperor Nicholas II
To forecast safety protective structures from shock waves avalanches of applied numerical modeling. Solved the problem of propagation of plane longitudinal elastic stress waves in a half-plane. A formulation of problems of elastic impact of a shock wave from an avalanche on protective structure without a cavity and with the cavity. The impact is modeled in the form of a trapezoid. For solving two-dimensional nonstationary dynamic problems of mathematical elasticity theory with initial and boundary conditions we use the method of finite elements in displacements. The problem is solved by the method of end-to-end account, without allocation of breaks. Applies a uniform algorithm. Using the method of finite elements in displacements, a linear problem with initial and boundary conditions led to a linear Cauchy problem.
forecast security
defense
shock wave
avalanche
numerical simulation
numerical method
algorithm
software complex Musayev V.K.
vertical cavity
transient waves
the wave theory of impact security
a rectangular pulse
Cauchy problem
method of through computation
homogeneous algorithm
the transition process

В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [5–8].

В последние годы в нашей стране и за рубежом уделяется большое внимание проблемам безопасности и надежности защитных сооружений от ударных воздействий лавины.

В работе применяется один из возможных технических средств защиты сооружений от ударных воздействий лавины – полости в окрестности предполагаемого сооружения.

Постановка задачи с начальными и граничными условиями

Для решения задачи о моделировании нестационарных волн в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени musae1.wmf сообщается механическое воздействие.

Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

musae3.wmf,

musae4.wmf,

musae5.wmf, (1)

где musae6.wmf, musae7.wmf и musae8.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; musae9.wmf, musae10.wmf и musae11.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; musae12.wmf – плотность материала; musae13.wmf – скорость продольной упругой волны; musae14.wmf – скорость поперечной упругой волны; musae15.wmf – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; musae16.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musae17.wmf, musae18.wmf,

musae19.wmf, (2)

где musae20.wmf – диагональная матрица инерции; musae21.wmf – матрица жесткости; musae22.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musae23.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musae24.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musae25.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

musae26.wmf, musae27.wmf. (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musae28.wmf,

musae29.wmf. (4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате musae30.wmf и по пространственным координатам, а именно

musae31.wmf musae32.wmf, (5)

где musae33.wmf – длина стороны конечного элемента.

Постановка задач о воздействии ударной волны от лавины на защитное сооружение

Рассмотрена постановка задач о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение без полости и для трех вариантах с полостью.

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 / 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 / 109 кг/м3.

Расчеты проведены при следующих исходных данных:

musae34.wmf; t = 1,393*10–6 с;

E = 3,15*104 МПа (3,15*105 кгс/см2);

?= 0,2; ρ= 0,255*104 кг/м3 (0,255*10-5 кгс с2/см4); Cp= 3587 м/с; Cs= 2269 м/с.

1. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение без полости (рис. 1). На контуре CB приложено нормальное воздействие musae40.wmf, которое при musae41.wmf (musae42.wmf) изменяется линейно от 0 до P, при musae43.wmf равно P и при musae44.wmf от P до 0 (musae45.wmf, musae46.wmf МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура FGHA при musae47.wmf musae48.wmf. Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при musae50.wmf. Контуры DEF и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.

musaev1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение без полости

musaev2.tif

Рис. 2. Ударное воздействие в виде трапеции

2. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти) (рис. 3).

musaev3.tif

Рис. 3. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

На контуре CB приложено нормальное воздействие musae51.wmf, которое при musae52.wmf (musae53.wmf) изменяется от 0 до P, а при musae54.wmf равно P и при musae55.wmf изменяется от P до 0 (musae56.wmf, musae57.wmf МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при musae58.wmf musae59.wmf. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при musae60.wmf. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.

3. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к десяти) (рис. 4). На контуре CB приложено нормальное воздействие musae61.wmf, которое при musae62.wmf (musae63.wmf) изменяется от 0 до P, при musae66.wmf равно P и при musae67.wmf изменяется от P до 0 (musae70.wmf, musae71.wmf– 0,1 МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при musae72.wmf musae73.wmf. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при musae74.wmf. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.

musaev4.tif

Рис. 4. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к десяти)

4. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати) (рис. 5). На контуре CB приложено нормальное воздействие musae75.wmf, которое при musae76.wmf (musae77.wmf) изменяется от 0 до P, а при musae78.wmf равно P и при musae79.wmf изменяется от P до 0 (musae80.wmf, musae81.wmf МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при musae82.wmf musae83.wmf. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при musae84.wmf. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.

musaev5.tif

Рис. 5. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати)

Вывод

Приведенные постановки рассматриваемых задач можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи, о применении полостей для увеличения безопасности окружающей среды при воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.