В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Некоторая информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [5–8].
В последние годы в нашей стране и за рубежом уделяется большое внимание проблемам безопасности и надежности защитных сооружений от ударных воздействий лавины.
В работе применяется один из возможных технических средств защиты сооружений от ударных воздействий лавины – полости в окрестности предполагаемого сооружения.
Постановка задачи с начальными и граничными условиями
Для решения задачи о моделировании нестационарных волн в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени 
сообщается механическое воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
,
,
, (1)
где 
, 
и 
– компоненты тензора упругих напряжений; 
, 
и 
– компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; 
– плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; 
– коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).
Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (3)
Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (4)
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате 
и по пространственным координатам, а именно
, (5)
где 
– длина стороны конечного элемента.
Постановка задач о воздействии ударной волны от лавины на защитное сооружение
Рассмотрена постановка задач о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение без полости и для трех вариантах с полостью.
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 / 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 / 109 кг/м3.
Расчеты проведены при следующих исходных данных:
; t = 1,393*10–6 с;
E = 3,15*104 МПа (3,15*105 кгс/см2);
?= 0,2; ρ= 0,255*104 кг/м3 (0,255*10-5 кгс с2/см4); Cp= 3587 м/с; Cs= 2269 м/с.
1. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение без полости (рис. 1). На контуре CB приложено нормальное воздействие 
, которое при 
(
) изменяется линейно от 0 до P, при 
равно P и при 
от P до 0 (
, 
МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура FGHA при 
. Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при 
. Контуры DEF и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение без полости
Рис. 2. Ударное воздействие в виде трапеции
2. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти) (рис. 3).
Рис. 3. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)
На контуре CB приложено нормальное воздействие 
, которое при 
(
) изменяется от 0 до P, а при 
равно P и при 
изменяется от P до 0 (
, 
МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при 
. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при 
. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.
3. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к десяти) (рис. 4). На контуре CB приложено нормальное воздействие 
, которое при 
(
) изменяется от 0 до P, при 
равно P и при 
изменяется от P до 0 (
, 
– 0,1 МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при 
. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при 
. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.
Рис. 4. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к десяти)
4. Рассмотрим задачу о воздействии упругой ударной волны от лавины (рис. 2) на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати) (рис. 5). На контуре CB приложено нормальное воздействие 
, которое при 
(
) изменяется от 0 до P, а при 
равно P и при 
изменяется от P до 0 (
, 
МПа (–1 кгс /см2)). Граничные условия для контура JKLA при 
. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при 
. Контуры DEFGHIJ и BA свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие. Исследуемая расчетная область имеет 21624 узловых точек. Решается система уравнений из 86496 неизвестных.
Рис. 5. Постановка задачи о воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати)
Вывод
Приведенные постановки рассматриваемых задач можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи, о применении полостей для увеличения безопасности окружающей среды при воздействии упругой ударной волны от лавины на защитное сооружение, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.