Постановка задачи при нестационарных волновых воздействиях
В настоящее время оценка достоверности моделирования быстропротекающих процессов в областях различной формы является приоритетной задачей фундаментальной и прикладной науки. Некоторая информация о постановке и численной реализации нестационарных волновых задач механики деформируемого твердого тела приведена в следующих работах [1–10]. Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t=0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
,
,
,
,
, 
, 
,
, (1)
где 
, 
и 
– компоненты тензора упругих напряжений; 
, 
и 
– компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; 
– плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; 
– коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Интегрируя уравнение (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (3)
Шаг по временной переменной координате 
выбирается из следующего соотношения
, (4)
где 
– длина стороны конечного элемента.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплекс программ написан на алгоритмическом языке Фортран-90.
Моделирование распространения плоских продольных упругих волн в полуплоскости
В работах [1, 3–10] приведена информация о физической достоверности и математической точности применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ при решении задач моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах различной формы.
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 * 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 * 109 кг/м3.
Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной волны в виде импульсного воздействия (восходящая часть – линейная, нисходящая – четверть круга) (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1).
На границе полуплоскости AB приложено нормальное напряжение 
, которое при 
(
) изменяется от 0 до P и при 
изменяется от P до 0 (
, 
МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура BCDA при t>0 
. Отраженные волны от контура BCDA не доходят до исследуемых точек при 
. Расчеты проведены при следующих исходных данных: 
; t = 0,125*10–4 с; E = 22,366*101 МПа (22,366*102 кгс/см2); n= 0,22; r= 1,469*103 кг/м3 (1,469*10–6 кгс•с2/см4); Cp= 400 м/с; Cs= 250 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 20862 узловых точек. Решается система уравнений из 83448 неизвестных.
На рис. 3 представлено изменение нормального напряжения 
(
) во времени n в точке B1.
Рис. 1. Постановка задачи о распространении плоских продольных волн в упругой полуплоскости
В данном случае можно использовать условия на фронте плоской волны. Предположим, что от некоторых точек упругой среды производится какое-то возмущение. Тогда из этих точек во все стороны начинают излучаться волны. На некотором расстоянии от центра возмущения рассматриваемые волны можно представить как плоские. Тогда все частицы движутся параллельно направлению распространения волны. Такие волны принято считать плоскими.
На фронте плоской продольной волны имеются следующие аналитические зависимости для плоского напряженного состояния 
и 
.
Отсюда видим, что точное решение задачи соответствует воздействию 
(рис. 2).
Рис. 2. Импульсное воздействие (восходящая часть – линейная, нисходящая – четверть круга)
Рис. 3. Изменение нормального напряжения 
во времени 
в точке B1: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение
Для упругих нормальных напряжений 
и 
имеется хорошее качественное и количественное согласование с результатами точного решения. Таким образом, можно сделать вывод, что на точность численного решения оказывает влияние аппроксимация воздействия.
Сравнение результатов нормальных напряжений, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – линейная, нисходящая – четверть круга) в упругой полуплоскости с результатами аналитического решения, показало хорошее совпадение. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения задач о распространении упругих волн в деформируемых телах.
Выводы
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при воздействии нестационарных волн напряжений на различные объекты.
Решена задача о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия в упругой полуплоскости. Исследуемая расчетная область имеет 20862 узловых точек. Решается система уравнений из 83448 неизвестных.
Для решения поставленной задачи используется импульсное воздействие (восходящая часть – линейная, нисходящая часть – линейная).
Проведенные исследования позволяют сделать вывод о физической достоверности и математической точности результатов численного решения полученных, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задач о распространении нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах.
Автор выражает благодарность Мусаеву В.К. за внимание к работе.