Учебно-методическое пособие «Методическое обеспечение дисциплины «Математический анализ» предназначено для нематематических направлений бакалавриата, например, 09.03.02 Информационные системы и технологии, 20.03.01 Техносферная безопасность, 35.03.06 Агроинженерия, 38.03.01 Экономика, 39.03.03 Организация работы с молодёжью и другие.
Представленное пособие нацелено на решение следующих задач:
– обеспечение преподавателей методическим инструментарием для проведения лекционных и практических занятий по дисциплине, организации самостоятельной и научной работы студентов;
– оснащение обучающихся методическими рекомендациями, способствующими развитию математической подготовки, необходимой для формирования общепрофессиональных компетенций.
Изменения, происходящие в высшей школе, привели к несоответствию между интенсивностью и содержанием обучения. Возрастающий объем знаний, необходимых современному специалисту, находится в обратной пропорциональности со сроками обучения в вузе. В связи с этим возникает необходимость обновления всех компонентов обучения, содержания, форм, методов с учетом внедрения новейших педагогических и информационных технологий. Происходит сокращение аудиторных часов, отводимых для изучения базовых дисциплин, в том числе математических, а значит и математического анализа. Как следствие перед методикой преподавания математики в высшей школе ставятся новые задачи. Острая нехватка методических материалов по всему курсу математического анализа актуализирует попытки систематизации и обобщения методических рекомендаций и инструментария по отдельным вопросам и разделам дисциплины.
Структура пособия. Весь материал разбит на темы, темы – на параграфы. В содержании каждого параграфа представлен структурированный лекционный материал с методическими рекомендациями по его изложению, сопровождающийся разбором типовых примеров. В конце каждой темы приводятся вопросы для самоконтроля, список заданий для аудиторной и самостоятельной работы, образцы контрольных работ, варианты тестового контроля знаний.
Отличие пособия. В учебно-методическом пособии учтены особенности преподавания математического анализа для студентов нематематических направлений бакалавриата. Представлена и описана одна из возможных схем организации учебного процесса.
В учебно-методическом пособии представлены следующие темы.
Тема 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Действия над матрицами. Определители. Обратная матрица. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени. Формулы Крамера.
Тема 2. Элементы аналитической геометрии
Прямая линия. Способы задания прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости. Линии второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Плоскость, способы её задания. Задание прямой в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Расстояния между двумя точками, от точки до плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Поверхности второго порядка в пространстве.
Тема 3. Элементы теории множеств
Множества, способы задания множеств. Подмножества. Равенство множеств. Универсальное множество. Круги Эйлера. Операции пересечения, объединения, разности двух множеств, дополнение множества. Свойства операций над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств, его свойства. Множество действительных чисел. Расширение понятия действительного числа (множество С). Понятие комплексного числа, его представление. Действия над комплексными числами.
Тема 4. Функции, последовательности и их пределы, непрерывность
Понятие функции. Способы задания функций. Область определения и область значения функции. Графики основных элементарных функций. Понятие последовательности. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции.
Тема 5. Основы дифференциального исчисления
Понятие производной, её геометрический и механический смыслы. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций. Приложение производной к исследованию функций: возрастание (убывание) функции, экстремумы; наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба; построение графиков функций.
Тема 6. Основы интегрального исчисления
Первообразная функция и неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования. Понятие определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона Лейбница. Методы интегрирования. Приложения интегралов к решению задач. Несобственные интегралы и их сходимость.
Тема 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Точечные множества в N-мерном пространстве. Понятие функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Дифференциал. Экстремумы функций нескольких переменных.
Тема 8. Числовые и функциональные ряды
Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Сложение рядов и умножение ряда на число. Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Критерий Коши. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Функциональный ряд и область его сходимости. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и их применение к приближенным вычислениям.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении первого порядка и его решении. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение в полных дифференциалах. Основные понятия и определения теории уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Интегрирование линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения и может быть использовано для подготовки к практическим занятиям, написанию курсовых и выпускных квалификационных работ. Материал данного пособия может быть использован преподавателями для организации процесса обучения по перечисленным выше темам.