Обучение решению текстовых задач в школе можно выделить в одну содержательную линию школьного курса математики, которая выполняет множество функций: вводно-мотивационную, практико-ориентированную и контрольно-оценочную [1].
Существует множество методов решения текстовых задач школьного курса математики, среди которых важную роль играет метод табличного моделирования, ставящий в соответствие условию задачи табличную математическую модель, способствующую поиску решения задачи.
Целью исследования является изучение табличных моделей в обучении решению задач школьного курса математики.
В широком смысле задача – это система, содержащая такие обязательные компоненты, как: 1) предмет задачи, который находится в исходном состоянии; 2) модель требуемого состояния для предмета задачи [2].
В связи с тем что задачи сформулированы на естественном языке, их называют текстовыми, однако существует два подхода к определению данного понятия. Первый подход гласит, что задача называется текстовой, когда содержит хотя бы один реальный объект. Согласно второму подходу, текстовой является задача, сформулированная связным текстом и содержащая повествовательные и вопросительные предложения [3].
Существует ряд математических задач, которые невозможно решить без составления вспомогательных чертежей, форм, таблиц и т.д. В таком случае для процессов или объектов, описанных в условии задачи, строится их математическая модель [4].
Задача моделирования состоит в наглядном представлении объектов и связей между ними, что способствует получению и обработке дополнительной информации о данных объектах.
Математическое моделирование является одним из универсальных методов моделирования. В соответствие физическому объекту или процессу оно ставит систему математических отношений, решая которую, ученики получают ответы на вопросы, поставленные в задаче. Достоинством математического моделирования является то, что оно позволяет решить задачу без создания реальной физической модели объекта, которое тратит много времени и ресурсов.
При решении математических задач можно использовать метод табличного моделирования.
Таблица – это способ структурированного представления информации, где каждый элемент или объект описан в соответствующей ячейке. Таблица состоит из строк и столбцов.
С помощью таблиц можно представить множество значений математической функции, выразить численные значения объектов текстовой задачи и др.
Табличная модель представляет собой перечень однотипных объектов, который находится в первом столбце или в первой строке таблицы, а также численное значение каждого из элементов, которое размещается в остальных столбцах или строках таблицы. С помощью таблицы учащимся удается преобразовать информацию, данную в задаче в текстовом виде, в полноценную структуру численных данных со всеми связями и отношениями, описанными в задаче.
Табличные модели наиболее рационально использовать при решении текстовых задач. Существует ряд принципов, описывающих основные аспекты работы с табличной математической моделью:
1. Таблица должна отражать анализ условия задачи, не содержать лишней информации и отражать лишь те элементы, которые способствуют поиску правильного ответа.
2. Информация в таблице должна быть расположена лаконично, что способствует быстрому анализу данных таблицы и выявлению главного требования задачи.
3. Принцип единообразия. Величины, которые представлены в таблице, должны находиться в прямой пропорциональной зависимости друг от друга.
Применение табличных математических моделей на уроке математики имеет ряд достоинств:
– происходит формирование и развитие у учащихся логического и аналитического мышления;
– формируются умения выделения основной мысли задачи;
– развиваются навыки исключения из текста избыточной информации;
– формирование умений самостоятельного применения различных способов поиска, использования, анализа и обобщения информации;
– развитие навыков обобщения имеющихся знаний из курса математики.
Метод табличного моделирования позволяет схематично решить любую математическую задачу. Однако, для того чтобы обучающиеся могли правильно применять данный метод в своей деятельности, их необходимо обучить каждому этапу решения задачи табличным методом [5].
Решение задачи методом табличного моделирования представляет собой совокупность десяти этапов решения.
1 этап. Чтение условия задачи. На данном этапе происходит смысловое чтение условия задачи, в результате которого определяется значение и понятность каждого слова. Пропустив данный этап в процессе решения задачи, ученик может неверно определить главную мысль и требование задачи.
2 этап. Формулировка математического закона. На данном этапе происходит выявление математического закона, на котором основано условие задачи. Для верного выявления закона учащимся необходимо выявить главные объекты задачи, а также определить их свойства и характеристики, данные в условии.
3 этап. Формирование табличной модели. Процесс построения табличной модели состоит из четырех действий:
– выявление численных характеристик объектов (данное действие заключается в установлении событий, описанных в условии задачи, и численных характеристик, соответствующих им);
– определение единицы измерения численных характеристик объектов (данное действие позволяет выявить, все ли характеристики указаны в одной единице измерения, если нет, то учащимся необходимо привести все числовые данные к одной единице измерения);
– выявление участников ситуации, описанной в задаче (данное действие позволяет определить, все ли участники задачи были выявлены; если в условии остались числовые характеристики, не внесенные в таблицу, значит либо был пропущен один или несколько участников, либо одного участника необходимо рассмотреть в разных ситуациях с разными числовыми данными);
– правильно расставить вычислительные действия между числовыми характеристиками (данное действие способствует наглядному представлению математического закона, который связывает характеристики задачи).
4 этап. Заполнение составленной таблицы. На данном этапе учащимся необходимо перенести числовые данные из условия задачи в построенную таблицу. Учащимся необходимо отследить единицу измерения численных величин, а также правильное соотношение данных величин участников и ситуаций, описанных в задаче.
5 этап. Определение неизвестных величин. На данном этапе в построенной таблице выявляются ячейки, которые содержат неизвестные и искомые величины.
6 этап. Проверка правильности заполнения таблицы. На данном этапе учащимся необходимо перечитать условие задачи и определить, все ли данные приведены в составленной ими таблице.
7 этап. Выполнение вычислительных действий с известными данными. На данном этапе обучающиеся, с помощью представленных в таблице известных данных, вычисляют искомую величину.
8 этап. Введение нового неизвестного. Данный этап необходим в том случае, если при выполнении вычислительных действий с известными данными учащимся не удалось решить задачу. Вводить неизвестную величину (или несколько неизвестных величин) следует таким образом, чтобы в таблице заполнилось максимально возможное количество ячеек и связей между объектами задачи.
9 этап. Выполнение вычислительных действий с неизвестными величинами. На данном этапе обучающиеся выполняют поиск решения задачи посредством использования введенной неизвестной величины и её отношений с известными величинами.
10 этап. Проверка правильности решения задачи. На данном этапе учащимся необходимо ввести в таблицу полученное решение и выявить, возникают ли в таблице противоречия между известными данными и полученной величиной.
После того как обучающиеся в полной мере овладеют десятью перечисленными этапами решения математической задачи методом табличного анализа, можно сократить алгоритм решения до четырех основных этапов:
1. Выделение из условия задачи её основных элементов.
2. Определение свойств, значений и отношений между выделенными элементами задачи.
3. Заполнение табличной математической модели.
4. Решение задачи на основе данных, приведенных в табличной математической модели.
Рассмотрим практическую реализацию десяти этапов решения математической задачи методом табличного моделирования.
Задача 1. В первую строительную бригаду привезли на 85 кг шпатлевки больше, чем во вторую. Первая бригада расходует 350 кг шпатлевки в час, а вторая бригада – 270 кг. Через 2 часа работы во второй бригаде осталось в 2,5 раза больше шпатлевки, чем в первой. Сколько килограммов шпатлевки привезли в каждую бригаду?
Этап 1. Чтение условия задачи.
В данной задаче речь идет о двух объектах – первая и вторая строительные бригады, каждая из которых рассматривается в одних и тех же событиях, но имеет свои собственные численные характеристики.
Этап 2. Формулировка математического закона. Основной формулой данной задачи является формула вычисления остатка.
Этап 3. Формирование табличной модели. В табличной модели данной задачи необходимо отразить: 1) 2 объекта – первая и вторая бригады; 2) характеристики данных объектов: количество доставленной каждой бригаде шпатлевки (единица измерения – килограмм); расход каждой бригады за 1 час (единица измерения – килограмм); время работы каждой бригады (единица измерения – час); количество оставшейся шпатлевки (единица измерения – килограмм). Составляем шаблон табличной модели.
Этап 4. Заполнение составленной таблицы.
Заполняем табличную модель данными, известными из условия задачи (табл. 1).
Таблица 1
Реализация четвертого этапа решения задачи 1
|
Количество доставленной шпатлевки (кг) |
Расход шпатлевки за 1 час (кг) |
Время работы бригады (ч) |
Остаток шпатлевки (кг) |
|
|
1 бригада |
350 |
2 |
||
|
2 бригада |
270 |
2 |
Этап 5. Определение неизвестных величин.
Из табл. 1 видно, что неизвестными величинами являются количество доставленной каждой бригаде шпатлевки и остаток шпатлевки у каждой бригады после двух часов работы.
Этап 6. Проверка правильности заполнения таблицы.
Перечитываем условие задачи и убеждаемся в том, что все известные из условия задачи характеристики выписаны в таблицу.
Этап 7. Выполнение вычислительных действий с известными данными.
На данном этапе определяется невозможность решения данной задачи без введения буквенной неизвестной величины.
Этап 8. Введение нового неизвестного.
Для того чтобы в таблице заполнилось максимально возможное количество ячеек и связей между объектами задачи, целесообразнее всего принять количество доставленной шпатлевки второй бригаде за неизвестную х, так как данная величина является наименьшей.
С помощью описанного в условии задачи соотношения доставленной шпатлевки первой и второй бригаде определяем, что второй бригаде доставили (х + 85) кг шпатлевки.
Остаток шпатлевки вычислим по следующей формуле: O = N – (R*t), где O – остаток шпатлевки, N – количество доставленной шпатлевки, R – расход шпатлевки в час, t – время работы бригады.
Заполним таблицу неизвестными величинами (табл. 2).
Таблица 2
Табличная модель задачи 1
|
Количество доставленной шпатлевки (кг) |
Расход шпатлевки за 1 час (кг) |
Время работы бригады (ч) |
Остаток шпатлевки (кг) |
|
|
1 бригада |
(x + 85) |
350 |
2 |
(х + 85) – 700 |
|
2 бригада |
x |
270 |
2 |
х – 540 |
Этап 9. Выполнение вычислительных действий с неизвестными величинами.
Из условия задачи мы знаем, что остаток шпатлевки во второй бригаде в 2,5 раза больше, чем в первой. Следовательно, уравнение для решения задачи 1 имеет следующий вид:
((х + 85) – 700)*2,5 = х – 540
Решаем полученное уравнение: х = 665 кг (доставлено второй бригаде).
Найдем количество доставленной первой бригаде шпатлевки: 665 + 85 = 750 кг.
Этап 10. Проверка правильности решения задачи.
Выполним проверку полученного решения. Известно, что остаток шпатлевки второй бригады в 2,5 раза больше, чем в первой. Найдем эти остатки и сравним их друг с другом:
1) 750 – (350*2) = 50 кг (1-я бригада); 2) 665 – (270*2) = 125 кг (2-я бригада);
3) 125 = 50*2,5 (остаток шпатлевки во второй бригаде в 2,5 раза больше, чем в первой).
Вывод: задача решена верно.
После того как обучающиеся в полной мере овладеют десятью этапами решения математической задачи методом табличного анализа, можно сократить алгоритм решения до четырех основных этапов.
Рассмотрим практическую реализацию решения математической задачи с помощью основных этапов решения. Возьмем задачу на смеси и сплавы.
Задача 2. Даны два сосуда с газом. Первый сосуд содержит 7 % кислорода, а второй 12 %. Масса газа второго сосуда на 250 г больше, чем первого. Содержимое данных сосудов перемешали в третьем сосуде, содержание кислорода в котором получилось 10,5 %. Вычислите массу газа, находящегося в третьем сосуде.
Этап 1. Выделение из условия задачи её основных элементов. Данная задача содержит следующие элементы: 1) 3 объекта – сосуды с газом; 2) характеристики данных объектов: общая масса сосуда (единица измерения – грамм); процент содержания кислорода (единица измерения – процент); масса чистого вещества в сосуде (единица измерения – грамм).
Этап 2. Определение свойств, значений и отношений между выделенными элементами задачи. Известно, что масса второго сосуда на 250 г больше, чем первого. Следовательно, за неизвестную х необходимо принять массу первого сосуда. Также известно, что третий сосуд образован смешением газов первого и второго сосуда. Для определения массы чистого вещества в сосудах необходимо проценты перевести в число.
Этап 3. Составление и заполнение табличной математической модели (табл. 3).
Таблица 3
Табличная модель задачи 2
|
№ сосуда |
Масса сосуда (г) |
Процент кислорода ( %) |
Числовое значение процента кислорода |
Масса чистого вещества (г) |
|
1 |
х |
7 |
0,07 |
0,07х |
|
2 |
х + 250 |
12 |
0,12 |
0,12(х + 250) |
|
3 |
х + (х + 250) |
10,5 |
0,105 |
0,105(х + (х + 250) |
Этап 4. Решение задачи на основе данных, приведенных в табличной математической модели. Так как масса вещества третьего сосуда представляет собой сумму массы первого и второго сосудов, то уравнение для решения задачи будет иметь следующий вид:
0,07х + 0,12(х+250) = 0,105(х + (х + 250)).
Решим полученное уравнение: х = 187,5 г (масса первого сосуда).
С помощью полученной массы первого сосуда вычислим массу третьего сосуда по формуле, представленной в табличной модели: 187,5 + 187,5 + 250 = 625 (г).
Ответ: масса третьего сосуда с газом равна 625 граммам.
Помимо задач на работу, движение, смеси и сплавы и т.п., методом табличного анализа можно решать также логические задачи. Приведем пример такой задачи.
Три мальчика вышли на прогулку. Каждый из них был одет в шорты и футболку желтого, зеленого или серого цвета. Известно, что Андрей был в зеленой футболке, на Сергее не было желтых вещей, только у Вани цвет футболки и шорт совпадал. Определите цвет футболок и шорт каждого мальчика.
В условии задачи рассматриваются три объекта – мальчики: Андрей, Сергей и Ваня. Каждый из них содержит два элемента: футболка и шорты. Каждый из элементов имеет свою цветовую характеристику: желтый, зеленый или серый. Данную задачу можно решить с использованием четырех основных этапов решения. Задача полностью решена с помощью одной табличной модели, без построения дополнительных уравнений и вычислений.
Выводы
Таким образом, процесс решения текстовых задач имеет большое значение в методике обучения математике и также выполняет ряд дидактических функций. Представленный метод табличного моделирования позволяет схематично решить любую математическую задачу. Однако для того, чтобы обучающиеся могли правильно применять данный метод в своей деятельности, их необходимо обучить каждому этапу решения задачи табличным методом. Но наиболее рационально использовать этот метод при решении текстовых задач.