, где 
, n‾ - единичная внешняя (т. е. направленная из жидкости в атмосферу) нормаль к поверхности жидкости, σ - плотность поверхностного заряда, приходящаяся на единицу площади. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2, 3 соответственно. Ось Oz декартовой системы координат Oxyz направлена вертикально вверх против вектора g‾ ускорения свободного падения, а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды.
Уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии E¯=0 имеют вид [2]
,
. (1)
Здесь ρ - плотность жидкости, Г - пористость среды, p1 - давление, u‾1 - макроскопическая скорость фильтрации, η - вязкость, K - коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [2].
Уравнения движения свободной жидкости при E‾=0 запишем в линейном приближении:
,
, (2)
где u‾2 - скорость жидкости.
Уравнения для электрического поля в атмосфере
, 
(
,
). (3)
Здесь ε - диэлектрическая проницаемость.
Из уравнений (2), (3) следует: 
, 
, где φ и ψ потенциал скорости и электрического поля, удовлетворяющие уравнениям Лапласа
, 
. (4)
Система граничных условий на границах раздела:
1) 
при 
(на дне),
2) 
при 
(на границе пористой среды),
3) 
при 
, на свободной поверхности жидкости с уравнением 
,
4) 
5) 
или 
,
6) 
, 
.
Здесь 
- нормальная скорость свободной жидкости, R1, R2 - радиусы кривизны поверхности, pатм - постоянное давление в атмосфере, pij - максвелловский тензор механических напряжений в области 3, α - коэффициент поверхностного натяжения. Величина σ находится из условия 
. В линейном приближении 
, 
, 
, 
- базисные векторы системы координат Oxyz.
Переменные величины записываем в виде:
, 
, 
, 
, (6)
( 
),
.
Здесь индексом «0» отмечены невозмущенные величины, а индексом «w» - возмущения соответствующих величин, связанные с волновым движением.
В равенствах (6):
, 
, 
, 
. (7)
Выбирая 
, условие 5) в системе (5), можно записать в виде: 
. Из условия 6) системы (5) следует при 
:
. (8)
Здесь 
. При выводе (8) учитывается, что
,
и
в линейном приближении.
В результате упрощения система (5) вместе с условием на бесконечности принимает вид:
1) u1z = 0 (z = -h1 ), 2) u1z=u2z (z=0 ), 3) p1w=p2w (z=0 ),
4)
(
), 5) (
), (9)
6)
( ), 7) 
( 
).
Здесь 
в условии 6). Все малые величины второго и более высоких порядков отбрасываются.
Из уравнений (1) следует
. (10)
В связи с тем, что при отсутствии волн: 
,
, уравнения для возмущений принимают вид
1) 
, 2) 
. (11)
Из уравнения (2) системы (11) с учетом divu‾2=0 следует
, (12)
а из уравнения 1) системы (11) с учетом divu‾1 = 0 находим
. (13)
С учетом (12) и (13) граничное условие 3) в системе (9) принимает вид
) 
(при z=0).
С учетом (4) и (10) окончательно система трех уравнений для нахождения φ, ψw, u1z принимает вид:
1) 
, 2) 
, 3) . (14)
А граничные условия (9) с учетом 
окончательно запишется в виде:
1) u1z =0 (z=-h1 ), 2) 
( z=0),
3) (z=0 ), 4) 
(z=h2 ),
5) 
(z=h2 ), (15)
6) 
(z=h2 ),
7) ψw = 0 ( z→+∞).
Решение уравнений (14) с граничными условиями (15) ищем в виде затухающих волн:
,
, (16)
.
Здесь 
, β - декремент затухания, ω - частота.
Подставляя функции (16) в уравнения (14), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд 
,
,
:
1) 
, 2) 
, 3) 
. (17)
Здесь 
.
Граничные условия для амплитуд получаются из (15):
1) U=0 (z=-h1 ), 2) 
(z=0 ), 3) 
(z=0 ),
4) 
(уравнение для нахождения функции 
), (18)
5) 
(z=h2 ),
(z=h2 ),
7) ψw = 0 ( z→+∞).
Общее решение системы (18) имеет вид:
,
, (19)
,
где Ci (i =1,...,6) - произвольные постоянные.
Подставляя формулы (19) в условия (18), получим однородную систему линейных относительно постоянных Ci алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение только при обращении в нуль определителя системы. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн:
,
где 
, 
, 
, 
, 
(
).
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) h1 - произвольное, .
Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100°C с параметрами:
, 
, 
. Значения E брались в промежутке от 0до 50 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 В/см). Принимаем, что ε=1 в атмосфере.
Остановимся подробнее на первом случае. Здесь частота ω>0 уменьшается с увеличением длины волны λ и слабо зависит от толщины h1, но с ростом h2 значения ω увеличиваются (при λ = const); декремент β>0 также уменьшается с ростом λ, при этом с ростом h1 величина β увеличивается (при λ=const), а с ростом h2 - уменьшается (при λ=const).
С ростом E0 значения ω уменьшаются при заданных λ, h1 ,h2 . При этом изменение h1 практически не влияет на ω, при увеличении h2 значения ω увеличиваются (при заданных λ, h1).
С увеличением E0 значения β уменьшаются при заданных λ, h1, h2. При увеличении h1 значения β увеличиваются. При увеличении h2 значения β уменьшаются.
При увеличении Г значения ω монотонно увеличиваются до максимального значения ωmax = 1,24 (при Г→1), при этом с ростом h1, а также h2 величина ω возрастает; значения β вначале возрастают практически от нуля до максимального значения βmax = 0,2 (при Г=0,91), а затем монотонно убывают, стремясь к нулю (при заданных h1=h2=25 см, k = 0,006 см-1 ), при этом с ростом h1 значения β увеличиваются, а при росте h2 - уменьшаются.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. - 616 с.
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.