В российской системе образовании произошло смещение акцентов с информационно-предметных позиций на личностно-ориентированные, творческо-развивающие. Одна из целей образования на старшей ступени общеобразовательной школы состоит в профессиональном самоопределении учащихся.
В настоящее время обнаруживается дефицит в специалистах, обладающих знаниями, умениями и опытом действия в условиях развивающихся рыночных отношений. Нужны специалисты для финансово-экономической сферы деятельности.
Математика обладает большими потенциальными возможностями для формирования у учащихся интереса к профессиям, связанных с указанной сферой деятельности.
Одним из таких средств являются прикладные математические задачи с экономическим содержанием. Эти задачи направлены на:
– мотивирование школьников на изучение экономических приложений математики;
– формирование умений решать прикладные задачи;
– расширение межпредметных связей;
– обучение математическому моделированию экономических процессов и явлений;
– развитие творческой активности учащихся;
– направленность обучения математике на выбор профессии из финансово-экономической сферы деятельности.
П.Н. Новиков отмечает: «Если содержание специально подобранных задач связано с открытием существенных элементов мастерства в той или иной профессии, то такие… задачи становятся средством формирования интереса к профессии» [6, с. 56].
Мы, следуя А.Б. Дмитриевой, будем под прикладной задачей понимать «задачу, описывающая реальную или приближенную к реальной ситуацию и решаемая математическими методами» [2, с. 13].
А.Н. Картежникова [5] предлагает рассматривать прикладные задачи экономического содержания двух видов:
1) математические задачи с экономическим наполнением, направленные на формирование основных математических понятий, а также умений и навыков решения типичных математических задач. Такие задачи подчинены структуре: экономика → математика;
2) экономические задачи, при решении которых используются математические методы. Эти задачи подчинены структуре:
математика → экономика.
Приведем примеры таких видов задач по различным разделам математики.
I. Элементы линейной алгебры
Матрицы и операции над ними
1. Предприятие производит мебель трех видов и продает её в четырех регионах. Матрица
задает цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определите выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц (по видам) задана матрицей
2. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья представлены матрицей
|
Вид изделия |
Вид сырья |
|
|
Необходимо определить затраты сырья для производства каждого вида изделий, если план выпуска продукции задан матрицей-строкой 
.
Уравнения и системы линейных уравнений
1. Фирмой было выделено 236 тыс. у. е. на покупку 29 предметов для оборудования офиса: нескольких компьютеров по цене 20 тыс. у. е. за компьютер, офисных столов по 8,5 тыс. у. е. за стол, стульев по 1,5 тыс. у. е. за стул. Позже выяснилось, что в другом месте компьютеры можно приобрести по 19,5 тыс. у.е., а столы по 8 тыс. у.е. (стулья по той же цене), благодаря чему на ту же сумму было куплено на 1 стол больше. Выясните, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.
2. Штат больницы состоит из 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующий хозяйством и заведующий больницей. Общий месячный фонд заработной платы составляет 400 тыс. руб. Известно, что медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки, врач – в 3 раза больше санитарки, заведующий отделением – на 1300 рублей больше, чем врач, заведующий аптекой – в 2,5 раза больше санитарки, заведующий хозяйством – на 1500 рублей больше медсестры, главный врач – в 4,5 раза больше санитарки, заведующий больницей – на 1500 рублей больше главного врача. Определите какими должны быть оклады сотрудников больницы.
II. Элементы аналитической геометрии
Векторы на плоскости и в пространстве
1. Предприятие выпускает четыре вида продукции 
в количествах 60, 70, 10, 140 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 6; 4,5; 12; 5 кг. Определите суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции <<dali6.wmf>> соответственно, на +5; –4; –2; +10 единиц.
2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автостоянок в центре Москвы, получил согласие на выдачу кредитов у трех банков. Каждый из них предоставит кредиты в размере 20, 40, 40 млрд. рублей под годовой процент 40 %, 25 %, 30 % соответственно. Определите общую сумму выплат кредиторам.
Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве
1. Издержки производства на 200 единиц продукции составляют 100 рублей, а на 1800 единиц – 700 рублей. Определите графическим способом издержки на производство 600, 1000, 1400 единиц продукции, считая, что функция издержек является линейной.
2. Известны линейные зависимости спроса 
и предложения 
от цены товара p. Найдите равновесную цену и выручку от продажи товара при равновесной цене.
III. Введение в исследование операций
Элементы линейного программирования
1. Коммерческий банк имеет на три месяца свободные денежные ресурсы в количестве 1 млдр. рублей. Доходность от вложения в ценные бумаги составляет 29 %, в то время как на межбанковском рынке можно получить 17 % прибыли, а вложения в валюту с последующей конвертацией обеспечит лишь 14 %. Определите максимальный доход от размещения свободных денежных средств.
2. Для производства кирпича двух марок
(I, II) предприятие использует оборудование трех видов (A, B, C), имеющееся в количествах соответственно не более 13, 9, 8 у.е. Для производства одного кирпича I типа требуется 2 у.е. оборудования вида А, 1 у.е. – вида В, 2 у.е. – вида С; для производства одного кирпича II типа – 2, 3, 1 у.е. Известно, что от реализации одного кирпича I типа прибыль составляет 3ден. ед.; II типа – 4 ден. ед. Определите максимальную прибыль.
Элементы теории игр
1. Туристическая фирма планирует организацию продажи туристических путевок в три страны. Спрос на путевки зависит от обстановке в каждой из стран и может принимать одно из двух состояний. В зависимости от этого доход, получаемый фирмой в ближайший месяц, определяет матрица
Необходимо определить соотношение объемов реализации путевок, при котором фирме гарантируется максимально возможная прибыль.
2. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товара на ярмарке с учетом изменений конъюнктуры рынка (спроса покупателей). Полученные при этом экономические показатели представлены матрицей
|
План продаж |
Величина доходов |
|
|
Определите оптимальный план продажи товара.
IV. Элементы математического анализа
Последовательности и ряды
1. Вклад положен в Сбербанк из расчета 5 % в год. Найдите сумму, которая получится по истечении 25 лет, если начальный вклад – 1000 рублей.
2. Докажите, что заниженный курс рубля выгоден российским импортерам, а завышенный – российским экспортерам. Кому выгоден фиксированный курс рубля при инфляции в России (импортерам или экспортерам)?
Дифференциальное исчисление
1. Функция издержек имеет вид
На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки 
. В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 у.е. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?
2. Зависимость между спросом q и ценой p за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, выдается соотношением 
. Выясните, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным, неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при p=100, p=150 денежных единиц?
Функции нескольких переменных
1. Производственная функция имеет вид 
, где x – количество единиц первого ресурса, y – второго. Стоимость единицы первого ресурса 8 ден. ед., единицы второго – 4 ден. ед. В силу бюджетных ограничений на приобретение ресурсов может быть потрачена сумма не более 54 ден. ед.. Определите оптимальное потребление x и y.
2. Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие по оказанию услуг населению. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что примерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа рабочих N выражается формулой 
. Амортизационные и другие ежедневные расходы на одну машину равны 2400 рублей, ежедневная зарплата сотрудника 3100 рублей. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин.
Интегральное исчисление
1. Найдите объем выпуска продукции за первые 5 часов работы при производительности 
, где t – время в часах.
2. Изменения производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией 
, где t – время в месяцах. Найдите объем продукции, произведенной: а) за первый месяц; б) за третий месяц; в) за последний месяц года, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.
Дифференциальные уравнения
1. Функция спроса и предложения на товар имеют вид 
, 
. Найдите зависимость равновесной цены p от времени t, если в начальный момент времени (
) цена составляет 20 ден. ед. Постройте график функции 
. Определите, является ли равновесная цена устойчивой.
2. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость 
. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?
V. Элементы теории вероятностей
1. Банк имеет 6 отделений. С вероятностью 0,2 независимо от других каждое отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банков знакомится с поступившими заявками. Какова вероятность того, что будет: а) ровно 2 заявки; б) хотя бы одна. Какова вероятность того, что есть заявка от первого отделения, если поступило 2 заявки.
2. Банкомат выдает стандартные суммы в 50 рублей, 100 рублей, 500 рублей, 1000 рублей, причем последние составляют лишь 20 %, а первые 60 % всех выдач. В сутки банкомат осуществляет примерно 100 выдач. Сколько же рублей надо заложить в банкомат утром, чтобы до следующего утра их хватило с вероятностью, не меньшей 0,9?