В [1] развита вероятностно-статистическая модель учащегося, в соответствии с которой индивидуум в процессе обучения движется в информационном пространстве. Однако в связи с тем, что человеческому знанию присущи элементы неопределённости и случайности, указать точное положение учащегося в информационном пространстве не представляется возможным. Можно говорить лишь о вероятности нахождения его в той или иной области информационного пространства. В данной модели каждый индивидуум идентифицируется функцией распределения (плотности вероятности) - вероятностью найти его в единичном объёме информационного пространства. В процессе обучения функция распределения, с которой идентифицируется учащийся, эволюционируя, движется в информационном пространстве. Каждый студент обладает индивидуальными свойствами и допускается независимая локализация (пространственная и кинематическая) индивидуумов друг относительно друга.
На основе закона сохранения плотности вероятности записана система дифференциальных уравнений, представляющих собой уравнения непрерывности, которые связывают изменение плотности вероятности за единицу времени в фазовом пространстве (пространстве координат и кинематических величин различных порядков) с дивергенцией плотности потока вероятности в рассматриваемом фазовом пространстве. Получены аналитические решения уравнения непрерывности для случая произвольной зависимости средней скорости (скорости движения математического ожидания функции распределения) от координаты.
Экспериментально найдены индивидуальные функции распределения и функции распределения для потока студентов. Экспериментальные функции распределения для потока студентов, как правило, асимметричны относительно координат их максимальных значений, причём максимум функции распределения для потока студентов младших курсов смещён к левой границе (в сторону меньших значений координат), а для потока студентов старших курсов - к правой границе. В процессе эволюции функций распределения их дисперсия увеличивается (функции распределения расплываются). Установлено, что функции распределения для потоков студентов третьего и четвёртого курсов, четвёртого и пятого курсов заметно перекрываются. Это говорит о том, что объём знаний, которым владеют «сильные» студенты младших курсов, может значительно превосходить объём знаний, которым владеют «слабые» студенты старших курсов.
Получено уравнение движения математического ожидания индивидуальной функции распределения в информационном пространстве [3], в соответствии с которым скорость движения математического ожидания индивидуальной функции распределения пропорциональна функции воздействия профессорско-преподавательского коллектива на студента и обратно пропорциональна функции инертности, определяющей неподатливость изменению положения студента в информационном пространстве.
Для измерений полноты знаний учащихся разработан вероятностно-статистический метод шкалирования, в соответствии с которым шкала измерений представляет собой упорядоченную систему 
, где A - некоторое вполне упорядоченное множество объектов (индивидуумов), обладающих интересующими нас признаками (эмпирическая система с отношениями); Lψ - функциональное пространство (пространство функций распределения) с отношениями; F - операция гомоморфного отображения A в подсистему Lψ; G - группа допустимых преобразований; f - операция отображения функций распределения из подсистемы Lψ на числовые системы с отношениями n-мерного пространства M. Таким образом, для определения полноты знания обучаемых и ранжирования их по уровню знаний необходимо выполнить следующие действия: найти экспериментально по результатам контрольного мероприятия, например экзамена, индивидуальные функции распределения студентов; рассчитать моменты индивидуальных функций распределения; провести ранжирование учащихся по уровню знаний на основе сравнения моментов различных порядков их индивидуальных функций распределения.
Экспериментально найдены функции распределения студентов, получивших на экзамене по курсу общей физики традиционные оценки «5», «4», «3» и «2» и рассчитаны моменты этих функций до седьмого порядка включительно. Показано, что каждой традиционной оценке соответствует широкий спектр значений математических ожиданий (моментов первого порядка). Это позволяет проводить ранжирование студентов по уровню знаний в пределах этой оценки. Кроме того, для тонкого ранжирования могут быть использованы моменты функций распределения более высоких порядков. Опыт показывает, что в большинстве случаев кроме значения математического ожидания достаточно иметь информацию о моменте второго порядка, определяющем дисперсию функции распределения, и о моменте третьего порядка, характеризующем асимметрию функции распределения.
Таким образом, вероятностно-статистическое шкалирование, отражающее существенное в поведении индивидуумов во время обучения, позволяет получать важную информацию о состоянии учебно-воспитательного процесса, которая, несомненно, полезна как самим учащимся, так и коллективу преподавателей, и администрации учебного заведения для совершенствования учебно-воспитательного процесса и оптимизации его структуры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Романов В.П., Соколова Н.А. Вероятностно-статистическая модель учащегося // Современные проблемы науки и образования. - 2009, № 6 (Часть 3.). - С. 122 - 129.
- Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 296 с.
- Романов В.П., Соколова Н.А. Анализ поведения учащихся в процессе обучения в высшем учебном заведении // Современные проблемы науки и образования. - 2009, № 6 (Часть 3.). - С. 130 - 135.