Исследована возрастная динамика профессорско-преподавательского состава университета на основе модели типа клеточных автоматов. Проведен качественный анализ численности преподавателей по возрастам, выявлены наиболее активные возрастные группы.
Ключевые слова: нелинейная динамика, социальная система, модель типа клеточных автоматов, прогнозирование состояния системы.
В статье методами нелинейной динамики исследуется социальная система: профессорско-преподавательский состав вуза. Целью исследования является проведение анализа и осуществление прогноза состояния системы. Делается анализ современного состояния и тенденций развития преподавательского состава и развития научного потенциала вуза с помощью математического моделирования. Для моделирования изменения численности профессорско-преподавательского состава университета использовались статистические данные Пензенского государственного университета за 2002-2012 годы. Ранее была построена стохастическая модель и проведен анализ качества обучения студентов в зависимости от квалификации преподавателей [1] и изучена динамическая модель повышения качества обучения студентов [2]. Анализ данных показал, что динамика численности кадрового состава по возрастным группам в вузах во многом одинакова по большинству регионов России [3].
1.Моделирование возрастной динамики вуза с помощью модели класса клеточных автоматов.
В последнее время модели клеточных автоматов становятся все более востребованными для описания сложных систем, состоящих из большого числа элементов [4-6]. Под клеточными автоматами понимают математические модели, в которых время и пространство дискретны и все величины принимают значения из конечного набора значений. Другими словами, клеточный автомат представляет собой дискретное пространство, в котором происходит эволюция и представляет набор правил, по которым эта эволюция происходит. С помощью аппарата клеточных автоматов решаются самые разнообразные задачи. Это задачи гидродинамики и газовой динамики, статистической физики и электроники, биологические и эпидемиологические задачи. Клеточные автоматы являются мощным, гибким и эффективным инструментом развития ситуации в системах, состоящих из большого числа элементов.
Рассмотрим математическую модель класса одномерных клеточных автоматов, которая позволит анализировать динамику возрастной стратификации профессорско-преподавательского состава университета. Каждую однородную возрастную категорию преподавателей будем моделировать одним элементом клеточного автомата, значение которого характеризует численность данной категории. Эволюция значения элемента определяет изменение численности возрастной группы, соответствующей данной категории. Модель, на основе которой проводился анализ кадрового состава, строилась для возрастных групп с интервалом 10 лет: 25-29 лет, 30-39 лет, …, старше 60 лет.
Переход из одной возрастной группы в другую происходит за один шаг дискретного времени, отвечающий временному интервалу 
год. Этому переходу соответствует сдвиг вдоль пространства клеточных автоматов. Элемент, возраст которого соответствует границе группы 29, 39, 49, 59 лет, переходит в следующую возрастную группу.
При построении модели учитывались следующие факторы:
- старение каждого преподавателя с течением времени (переход в следующую возрастную категорию каждого элемента модели);
- уход на пенсию преподавателей, достигших предельного возраста;
- уход активных сотрудников в другие отрасли деятельности;
- появление новых молодых сотрудников из числа выпускников вуза;
- защита кандидатских и докторских диссертаций с соответствующим переходом преподавателей в новую категорию.
Опишем эти факторы с помощью правил клеточного автомата. Рассмотрим одномерное дискретное пространство с числом элементов j=1,2...,N, где 
Номер элемента соответствует категории возраста.
В начальный момент дискретного времени i задается множество клеток 
. Каждая из клеток характеризуется своим значением xj Положение клетки в пространстве (координата j) характеризует численность данной возрастной категории, определяет число сотрудников с одинаковым возрастом. В начальный момент времени xj задается на основании статистических данных, представленных учебной частью Пензенского государственного университета.
Динамика клетки (старение на один год группы сотрудников с одинаковым возрастом) на каждом шаге во времени определяется по формуле
(1)
причем на границе пространства клеточного автомата j=0 используется граничное условие
(2)
где величина X0 характеризует число молодых сотрудников, ежегодно пополняющих преподавательский состав. Уход сотрудников вуза в другие сферы деятельности описывается формулой
(3)
В простейшем случае функция G имеет вид
(4)
где коэффициент
Уравнением, соответствующем одномерному клеточному автомату, является уравнение непрерывности – закон сохранения численности сотрудников с учетом ухода их из системы вуза:
(5)
где x(v,t)- число сотрудников высшей школы с возрастом v в момент времени t. G - функция оттока кадров, она характеризуется числом сотрудников возраста v, уходящих из системы высшей школы в другие сферы деятельности. В простейшем случае функция G может быть описана линейной зависимостью
(6)
где 
2. Анализ численности по возрастам преподавательского состава университета.
Для анализа достоверности предложенной модели было осуществлено прогнозирование сегодняшней ситуации, исходя из статистических данных, относящихся к прошедшему времени. На основе данных 2002-2003 годов был сделан прогноз по количественному и качественному составу преподавателей университета на 2004-2012 годы. Затем полученные результаты сравнили с реальными данными.
Сопоставление реальных статистических данных с результатами моделирования позволяет заключить, что предлагаемая модель с высокой степенью точности позволяет сделать краткосрочный прогноз, то есть прогноз развития кадрового состава на 2-3 года вперед. При прогнозировании на большее количество времени точность прогноза убывает.
Согласно прогнозу с течением времени будут происходить следующие изменения.
1).Будет происходить монотонное возрастание доли возрастной категории выше 60 лет. Согласно построенной модели и реально количество преподавателей этой возрастной группы в 2012 году увеличилось по сравнению с 2002 годом в 1,3 раза.
2). Основная возрастная группа соответствует возрасту 50-59 лет.
Общая тенденция динамики возрастной стратификации профессорско-преподавательского состава университета выглядит следующим образом: увеличение доли старших возрастных категорий, уменьшение доли активной возрастной группы от 49 до 49 лет и небольшое увеличение молодых сотрудников.