Scientific journal

International Journal of Experimental Education

ISSN 2618–7159

ИФ РИНЦ = 0,425

(2)

характеристическое уравнение, которой

имеет корни

(3)

Рассмотрим теперь частные случай. Если для системы (2) справедливы условия

(4)

то корни будут вещественны и отрицательны, следовательно имеет место асимптотическая устойчивость. При выполнении условий

(5)

система имеет комплексно-сопряженные корни, у которых вещественные части отрицательны. Как известно из теории устойчивости движения [3], и в этом случае система будет асимптотически устойчива, т.е. все отклонения выходной (регулируемой) величины от своего заданного значения с течением времени (при ) стремятся к нулю. Если хотя бы один из корней (3) будет иметь положительную вещественную часть (или положительный корень), то система автоматического управления будет неустойчива. Неустойчивость означает, что отклонения выходных величин от своих заданных значений настольно быстро возрастают, что могут привести к разгону и выходу системы из строя.

Рассмотрим теперь исходную полную систему с учетом нелинейных членов в правой части. Для получения ответа на вопрос об устойчивости системы применим второй метод Ляпунова. Для этого выберем функцию Ляпунова в виде

Подобная задача была рассмотрена М.А.Айзерманом [4], в которой в качестве нелинейного члена была выбрана функция ϕ1(x1)=a1(x1)x1, где предполагается, что выполняется неравенство

(6)

при , где – достаточно большое число, и используя второй метод Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость. К этому результату можно прийти с помощью критериев устойчивости по первому приближению для достаточно малых значений x1 и x2.

Рассмотрим теперь полные уравнения возмущенного движения системы автоматического регулирования с учетом нелинейного элемента, моделируемого кубическим членом ϕ1(x1)=a1(x1)x1+yx31 в правой части исходной системы (1).

Предположим, что параметры системы удовлетворяют условиям

(7)

которые соответствуют случаю, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. Этот случай в теории устойчивости называется критическим, то есть с учетом одних лишь линейных членов в дифференциальных уравнениях возмущенного движения невозможно получить ответ на вопрос об устойчивости исходной нелинейной системы автоматического регулирования

Для решения вопроса об устойчивости рассматриваемой системы выберем знакоопределенную функцию Ляпунова в виде

(8)

производная которой по времени в силу управнений возмущенного движения системы имеет следующий вид

(9)

Подставляя значение функции ϕ1(x1)=a1(x1)x1+yx31 в (7), после элементарных выкладок получим

(10)

которая является знакопостоянной функцией для b2>0 (так по условию (5) a1=-b2, то можно принять a1>0, b2<0. Следовательно исследуемая система будет устойчива не только при достаточно малых значениях, но и для относительно больших значений x1, соответствующих отклонению регулируемый величины от своих заданных значений.

Таким образом для системы автоматического управления второго порядка при критическом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения доказана устойчивость исходной системы в строгой нелинейной постановке.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда уравнение возмущенного движения системы автоматического управления имеет вид

(11)

Характеристическое уравнение системы определяется как

(12)

Введя обозначение получим бикубическое уравнение

(13)

Которое подстановкой приводится к виду

(14)

где

Уравнение (4) имеет три различных действительных корня, если

(15)

Следовательно, при выполнении условия (5) и уравнение будет иметь три различных действительных корня.

Исходная система автоматического управления может быть устойчива только тогда, когда корни характеристического уравнения (2) будут чисто мнимыми. А это возможно лишь в том случае, если корни бикубического уравнения (3) относительно x будут действительными и отрицательными. Для этого воспользуемся критерием Рауса-Гурвица: если главные диагональные миноры определителя

(16)

положительны, то все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части, т.е. при

(17)

Если использовать критерий (7) Рауса-Гурвица вместе с требованием отрицательности , то получим необходимые условия устойчивости исследуемой ситемы в виде

(18)

Таким образом, если условия (8) будут выполнены, то корни характеристического уравнения (2) будут чисто мнимыми. Следовательно, исследуемая система автоматического управления устойчива в линейном приближении.