Пособие предназначено для подготовки бакалавров по направлению 44.03.05 педагогическое образование, профили «Математика» и «Физика». Оно удовлетворяет основным требованиям федерального государственного образовательного стандарта и учебной дисциплины. Содержание пособия направлено на формирование компетенций, умений и навыков необходимые педагогу-исследователю.
Настоящее издание «Теория чисел в примерах и задачах» является продолжением учебного пособия «Теория чисел» и предназначено для выполнения студентами заданий на практических занятиях, а также для организации и контроля самостоятельной работы обучающихся.
В основу проведения практических занятий положена технология учебного проекта, которая состоит из пяти пунктов, а именно:
проблема → проектирование → поиск информации → продукт → презентация.
Внедрение такой технологии позволяет студенту при решении значимой, важной проблемы использовать интегрированные знания, исследовательские методы, проектировать модель конечного продукта, планировать самостоятельную деятельность, создавать конкретный продукт, представлять и защищать его. В рабочей тетради, представленные задания учитывают специфику такой деятельности и направлены на повышение уровня владения системными, теоретическими и практическими знаниями по организации и проведению проектной деятельности по другим дисциплинам. В процессе изучения курса «Теория чисел» обучающие создают и защищают 9 проектов, поэтому в пособии наряду с примерами и задачами излагаются рекомендации по пяти пунктам технологии проектной деятельности.
Пособие состоит из трех глав, четырех приложений и списка литературы. Главы взаимосвязаны между собой и охватывают весь материал вузовского курса «Теория чисел».
В первой главе на основе теории делимости в кольце целых чисел рассмотрены примеры и задачи, изучаемые как в вузовском, так и школьном курсе математики. При выполнении задач используются свойства отношения делимости, деления целых чисел с остатком, простых чисел; алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя нескольких целых чисел. Студенты выполняют задания в различных системах счисления; с числовыми функциями и преобразованиями в цепных дробях.
Вторая глава посвящена теории сравнений. Рассмотрены основные свойства сравнений, полные и приведённые системы вычетов по данному модулю, теоремы Эйлера и Ферма, сравнение первой и более высоких степеней, индексы по простому модулю.
В третьей главе систематизированы приложения теории делимости и теории сравнений к арифметике целых чисел. Выводятся признаки делимости на произвольное число m; определяется длина периода десятичной дроби; решаются различными способами задачи школьной математики, в частности рассматривается решение диофантовых уравнений с использованием вышеуказанных теорий.
В каждой главе указаны темы, которые рассматриваются на отдельных практических занятиях. Каждое занятие содержит методические рекомендации для студентов, образцы решения типовых задач, задания для аудиторной и самостоятельной работы.
Особое внимание в рабочей тетради уделяется осуществлению текущего контроля знаний студентов на практических занятиях. Указаны различные формы проведения такого контроля: тестовые задания, теоретические опросы, устные доклады, что специально выделено в пособии.
Систематическая работа над темами каждого занятия, регулярное и последовательное решение задач, выполнение требований к проекту позволяют студенту не только успешно и своевременно подготовиться к зачету по данному курсу, но и качественно и быстро решать задачи группы «С» единого государственного экзамена по математике.
Для студентов высших учебных заведений; может быть использовано также учителями школ и преподавателями вузов.