В последние десятилетия уровень геометрического образования в школе значительно понизился.
В работе [10] отмечается: «ЕГЭ – 2014 г. не обнаружил серьезных скандалов и нарушений (результат принятых жестких, фактически полицейских мер при его проведении). Но куда важнее, что он не обнаружил главного – знаний у школьников. … Сказать, что результаты выпускников заметно снизились – это не сказать ничего. Риск всплеска общественного недовольства… вынудил резко снизить планку требований для получения тройки» [10, с. 10–11].
Чтобы поставить тройку, «троечная планка» по математике в 2014 г. была снижена с 24 до 20 баллов. Было принято решение не учитывать при проверке задачи по геометрии. Специалистам понятно, что это по существу «нулевые» знания по математике.
Не случайно в печати появляются высказывания о том, что наше «лучшее физико-математическое образование» уже настолько не лучшее, что даже уже и не образование.
Всероссийский съезд учителей математики, проходивший в 2010 году в Москве, выразил беспокойство «существенным снижением уровня математической подготовки выпускников средней школы, что ставит под удар способность России к воспроизводству квалифицированных кадров, ее технологическую и информационную модернизацию, наукоемкое и информационное экономическое развитие» [16, с. 33].
Приведем результаты выполнения выпускниками школ России заданий ЕГЭ и других тестов по математике.
Остановимся на результатах выполнения учащимися задач по геометрии в ЕГЭ по математике в 2011 году [18].
1. В треугольнике АВС AD − биссектриса, угол C равен , угол CAD равен . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Средний процент верных ответов – 75,7 %. (Ошибки связаны с незнанием простейших геометрических фактов.)
2. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Средний процент верных ответов – 85,0 %. (Ошибки связаны с незнанием формул площадей плоских фигур; затруднения в случае, если площадь выражается дробным числом; затруднения в вычислении площади тупоугольного треугольника, когда одна из его сторон, противолежащая острому углу, лежит на вертикальной линии сетки, а основание высоты треугольника лежит на продолжении этой стороны.)
3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в два раза больше диаметра основания первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Средний процент верных ответов – 68,7 %. (Ошибки связаны с плохим знанием фактов и формул стереометрии, неумением рассуждать и делать простейшие умозаключения. При этом задачи на комбинацию треугольной призмы и цилиндра решались хуже задач на комбинацию прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.)
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 13, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Средний процент решений, оцененных максимальным баллом, − 8,8 %; положительный результат – 13,9 %. (Ошибки связаны с неумением анализировать пространственные конфигурации; использовать факты и теоремы, связанные с перпендикулярностью прямых и плоскостей; строить простейшие линейные углы и проекции; ошибки в определении вида треугольника.)
5. Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 9:25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
В 2011 году проведено международное исследование TIMSS математической подготовки учащихся 8-х классов, результаты которого стали известны в 2013 году («Математика», № 4, 2013 г.) [14].
1. Задания, проверяющие владение учащимися умениями: строить углы заданной величины, распознавать и находить смежные и вертикальные углы; вычислять расстояние между точками, расположенными на прямой, а также знание признаков и свойств параллельных прямых, выполняют от 56 % до 77 % учащихся 8-х классов.
2. Задания, связанные со свойствами углов треугольника, со свойствами равнобедренного и прямоугольного треугольника, со свойствами других многоугольников, выполнило от 44 % до 73 %.
3. Задания, проверяющие: умение находить площадь прямоугольника и треугольника, периметр трапеции; владение свойством аддитивности площади; умение вычислять объем прямоугольного параллелепипеда, выполнили от 28 % до 82 %.
4. Задания, в которых от учащихся требовалась работа с геометрическими преобразованиями, выполнили от 23 % до 66 %, что существенно ниже результатов по другим блокам заданий.
5. Задания на геометрические тела в пространстве:
a) мысленно свернуть из развертки, изображенной на рисунке, правильную четырехугольную пирамиду и начертить ее вид сверху смогли 73 % учащихся;
б) с заданием, в котором от учащихся требовалось среди приведенных фигур найти развертку параллелепипеда, справились 61 % учащихся.
Приведем результаты выполнения учащимися школ России заданий по геометрии в ЕГЭ 2014 года [17].
1. Найдите площадь трапеции, изображенной в координатной плоскости.
Средний процент правильных ответов – 85,6 %.
2. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 14, высота CH равна 7. Найдите синус угла ABC.
Средний процент правильных ответов – 79 %.
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки ABCDEFD1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.
Средний процент правильных ответов – 60,4 %.
4. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 10, боковое ребро AA1 равно 2. Точка О принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 4:1, считая от вершины A1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и О.
Средний процент решений, оцененных максимальным числом баллов, − 5,1 %. Один балл за решение получили 4,8 % выпускников.
5. Диагонали AC и BD в трапеции ABCD пересекается в точке О. Площади треугольников AОD и BОC равны соответственно 49 см2 и 36 см2.
а) Докажите, что площади треугольников AОB и CОD равны.
б) Найдите площадь трапеции.
Средний процент решений, оцененных максимальным числом баллов, − 3,5 %. Положительный результат, отличный от максимального (не менее одного балла за решение) – 4,7 %.
Падение уровня математической грамотности по геометрии, началось с отмены в 1982 году выпускного экзамена по геометрии на аттестат зрелости.
В настоящее время вопросы планиметрии и стереометрии слабо представлены в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике (но надо заметить, что ситуация меняется в лучшую сторону). Ответы на эти вопросы не предполагают владение учащимися умением доказывать математические рассуждения, умением решать геометрические задачи на построение и т.д.
В наше время геометрия становится все менее популярной у большинства обучающихся. Школьники отождествляют алгебру с математикой.
Задача учителя – вернуть геометрию в школу, зажечь у ребят интерес к ней, для этого следует использовать научно-популярную литературу по геометрии, занимательные геометрические задачи, методическую литературу (журнал «Математика в школе», журнал «Математика», тема одного из номеров которого (№ 21, 2010 г.) – «Птица Феникс – геометрия» и др.).
Геометрия, обладающая огромным числом интересных и наглядных приложений в самых различных областях человеческой деятельности, предоставляет широчайшие возможности демонстрации обучающимся своей практической значимости и актуальности для современной науки и техники.
Изучение геометрии не только формирует у обучающихся специальные геометрические знания, но, что еще важнее, играет значительную роль в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность утверждений в любой сфере деятельности.
Е.В. Потоскуев отмечает: «Хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление – необходимые атрибуты не только математика, но и инженера, и экономиста, и дизайнера, и юриста, и программиста, а также специалистов многих других профессий. … В основе геометрического образования лежит один из самых нравственных принципов – принцип доказательности» [13, с. 3].
Следует в первую очередь поднять на должную высоту геометрическое образование будущих учителей математики, научить их обучать учащихся геометрии в сложившихся условиях. Уместно привести высказывание французского философа К.А. Гельвеция: «Требуется больше ума, чтобы передать свои мысли, чем их иметь».
По поводу низкого уровня математической грамотности студентов разных специальностей, в том числе и будущих учителей математики, Е.П. Богомолова отмечает: «Пока на бумаге планка математического образования будущих бакалавров и магистрантов поднимается все выше, в реальности преподаватели вынуждены опускать планку требований к студентам все ниже и ниже» [2, с. 3].
Конечно, столь низкий уровень математической грамотности студентов связан с таким же низким уровнем математической грамотности абитуриентов. Школьная математическая подготовка первокурсников «неравномерно», их знания фрагментарны, а базовые навыки нестабильны.
Е.В. Потоскуев отмечает: «К сожалению, геометрическое образование в сегодняшней российской средней и высшей педагогической школе вызывает определенную озабоченность и тревогу. Педагогическому сообществу России предстоит решить ряд проблем качественного улучшения геометрического образования учащихся школ и студентов- математиков педагогических вузов» [13, с. 4].
Наш многолетний опыт позволяет заключить, что математически малограмотный первокурсник вряд ли станет математически компетентным бакалавром.
Обучение геометрии должно строиться на основе интуитивного, живого пространственного воображения в сочетании со строгой логикой.
Помня слова А. Нивена «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед», можно сделать вывод о том, что нужна дидактически верно организованная самостоятельная работа обучающихся по изучению геометрии. Может быть тогда высказывание И. Канта «Учить не мыслям, а мыслить» станет реальностью на практике.