Основной государственный экзамен (9 класс) (ОГЭ) и единый государственный экзамен (11 класс) (ЕГЭ) по математике в 2014 году в очередной раз продемонстрировали, что школьное геометрическое образование переживает кризисную фазу своего развития.
Чтобы поставить тройку, «троечная планка» по математике в 2014 году была снижена с 24 баллов до 20 баллов. Было принято решение не учитывать при проверке ЕГЭ задачи по геометрии. Ученики зачастую даже не приступали к решению геометрических задач, они «пасуют» перед этими задачами.
Приведём результаты решения геометрических задач в ЕГЭ по математике.
С задачей В4 (ЕГЭ – 2011 г.) «В треугольнике АВС АД – биссектриса, угол С равен 104 °, угол САД равен 5 °. Найдите угол В» справилось по России примерно 75,7 %. Ошибки связаны с незнанием простейших геометрических фактов.
С задачей В9 (ЕГЭ – 2011 г.) «В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого?» справилось в среднем по России примерно 68,7 %. Ошибки связаны с плохим знанием основных фактов и формул стереометрии, неумением рассуждать и делать простейшие умозаключения.
В 2011 году по России геометрические задачи в ЕГЭ учащиеся решили в среднем так: В6 – 85,0 %; С2 – 13,2 % (максимальный балл получили 8,8 % учащихся); С4 – 4,44 % (максимальный балл получили 0,79 %).
В текстах TIMSS в 2011 году 20 % заданий составили задачи по геометрии. Анализ результатов выполнения геометрической части теста российскими восьмиклассниками [13] обнаруживает проблемы нашего школьного геометрического образования.
С задачами, посвящённым простейшим геометрическим фигурам, справляются от 56 % до 77 % учащихся. Ошибки связаны с невнимательностью, с вычислениями и с неумением выполнять чертёж по условию задачи.
Умение применять теорему Пифагора и вычислять длину гипотенузы смогли продемонстрировать 52 % учащихся, а показали знание теоремы, обратной теореме Пифагора, 71 % учащихся.
Найти величину угла треугольника, когда в этом треугольнике известны величины другого угла и внешнего угла третьего угла треугольника, смогли 56 % восьмиклассников.
С задачей, в которой нужно было распознать прямоугольную трапецию, определить необходимые элементы и вычислить площадь по известной формуле, справилось 46 % учащихся.
С задачей, в которой нужно было найти площадь треугольника, определив предварительно, используя теорему Пифагора, сторону, к которой проведена высота, справилось 39 % учащихся.
С задачей, в которой нужно было по данной развертке треугольной призмы найти площадь её полной поверхности, справилось 39 % учащихся.
С задачами из блока заданий на геометрические преобразования справилось от 23 % до 66 % учащихся. Например, с заданием, в котором требовалось указать пару равных углов двух подобных треугольников, справилось 47 % учащихся.
Задачу, в которой заданы размеры прямоугольной коробки и размеры книг (все книги одинакового размера), нужно было узнать, какое наибольшее число книг полностью заполнят коробку, решило 36 % учащихся.
В аналитическом отчёте ФИПИ отмечается, что многие ошибки обусловлены недостаточным развитием у учащихся пространственных представлений, а также с недостаточно сформированными умениями правильно изображать геометрические фигуры, проводить дополнительные построения, применять полученные знания для решения практических задач; особые трудности вызывает решение задач на доказательство.
Российские школьники проигрывают своим сверстникам из других стран в умении рассуждать, обосновывать свои выводы.
И это всё в условиях, когда школы России работают по разным учебникам: 76 % восьмиклассников учатся по учебнику «Геометрия» авторов Л.С. Атанасян и др.; 16 % по учебнику «Геометрия» автора А.В. Погорелова; 8 % учащихся по другим учебникам геометрии.
Е.В. Потоскуев отмечает: «К сожалению, геометрическое образование в сегодняшней российской средней и высшей педагогической школе вызывает определённую озабоченность и тревогу. Педагогическому сообществу России предстоит решить ряд проблем качественного улучшения геометрического образования учащихся школ и студентов-математиков педагогических вузов» [11, c. 4].
В наше время геометрия становится всё менее популярной у большинства обучающихся. Задача учителя – вернуть геометрию в школу, зажечь у ребят интерес к ней.
Основными направлениями совершенствования школьного геометрического образования являются:
1. Для полноценного развития пространственных представлений учащихся следует разработать и реализовать на практике концепцию этого развития с первого года обучения до последнего.
Важную роль в развитии пространственных представлений должна играть работа по развитию пространственного воображения учащихся, которое выражается в умении мысленно выполнять различные перемещения и трансформации геометрических фигур. Этому способствуют созданные сегодня компьютерные конструкторы и виртуальные лаборатории. Формирование геометрического видения, в частности пространственного воображения, неразрывно связано с развитием творческого начала каждого человека.
2. В учебниках геометрии следует более строго дифференцировать и задачи, и теоретический материал; учебник должен в обязательном порядке, прежде всего, научить учащихся решать задачи базового уровня, а уже затем – повышенного уровня.
3. Учебник геометрии должен предлагать учащимся задания на переформулирование утверждений, на приведение примеров и контрпримеров, на применение общего утверждения к частному случаю.
4. Устранить в учебниках геометрии непоследовательность в формировании тех или иных представлений и навыков, заключающуюся в том, что в этом процессе образуются зачастую большие временные интервалы.
5. Усилить в учебниках геометрии линию прикладных и занимательных геометрических задач. Усиление в геометрии прикладных аспектов связано ещё и с тем, что в ОГЭ и ЕГЭ по математике стали включаться практико-ориентированные задачи. Занимательные геометрические задачи нужны, прежде всего, для развития у учащихся интереса к геометрии.
6. Известно, что геометрия буквально означает «землемерие». По преданию, всех входящих в Академию Платона встречал лозунг «Не геометр – да не войдёт сюда!». Геометрия здесь (вопреки буквальной семантике названия) – не умение измерять, а умение рассуждать (этот лозунг Академии означал, что рассуждения и диалоги её учеников и учителей должны соответствовать законам логики, используемым в геометрии).
Следует на практике реализовать давно уже известный лозунг: «Геометрия – сплав интуиции, логики и живого воображения» – это должно стать основой обучения геометрии в школе.
Другие рекомендации по совершенствованию школьного геометрического образования читатель найдёт в наших работах [1, 2, 3, 4, 5].