Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

1 1
1
2195 KB

В данной работе показывается получение основных уравнений гидродинамики [1] в рамках формальной единой структуры, определяемой координатами Эйлера.

Для описания состояния некоторой системы используется произвольная функция fm1.wmf в координатах Эйлера fm2.wmf и fm3.wmf.

Эволюция систем во времени обеспечивается полной производной fm4.wmf по времени:

fm5.wmf, (1)

где fm6.wmf − скорость, fm7.wmf − сила и fm8.wmf − интеграл столкновений, формализующий эволюцию систем из равновесного состояния в неравновесное состояние и обратно. Так при fm9.wmf система находится в состоянии равновесия, при fm10.wmf>0 − система неравновесна.

Уравнение непрерывности. В данном случае в (1) возможно аппроксимация fm11.wmf как плотности массы при fm12.wmf:

fm13.wmf, (2)

где fm14.wmf − сила; fm15.wmf − импульс. Тогда выражение (2) примет вид

fm16.wmf.

Поскольку fm17.wmf, то второе слагаемое fm18.wmf. Следовательно, fm19.wmf. При подстановки данного выражения в (2) и с последующим использованием теоремы о перебросе производной, получим

fm20.wmf.

При fm21.wmf приводим (2) к уравнению непрерывности:

fm22.wmf. (3)

В сокращенном виде:

fm23.wmf,

где fm24.wmf − плотность потока жидкости.

Уравнение движения в гидродинамике. Решение данной задачи требует в (1) представления fm25.wmf как гидродинамического импульса. При этом fm26.wmf − плотность жидкости. Тогда

fm27.wmf. (4)

В гидродинамике, силу fm28.wmf представляют в виде градиента давления fm29.wmf если движение жидкости происходит только лишь под действием давления fm30.wmf:

fm31.wmf.

Для движения реальной жидкости надо учитывать еще и гравитационную силу Ньютона fm32.wmf, где fm33.wmf − потенциальная энергия единицы массы жидкости и силу сопротивления в виде силы вязкости fm34.wmf, где fm35.wmf − вязкость. Для многих задач, особенно при малых скоростях fm36.wmf, можно считать жидкость несжимаемой fm37.wmf. При этих условиях, уравнение движения приобретает следующий вид:

fm38.wmf. (5)

Данное выражение можно представить в форме:

fm39.wmf. (6)

Уравнение Навье-Стокса. Данное уравнение является основным в гидродинамике. Оно описывает зависимость скорости движения жидкости fm40.wmf от различных факторов, рассмотренных выше. Очевидно, что (6) можно дать в виде:

fm41.wmf, (7)

где fm42.wmf − удельная вязкость. Для вывода уравнения Навье-Стокса необходимо воспользоваться некоторыми правилами векторного анализа для слагаемого fm43.wmf:

fm44.wmf. (8)

Здесь fm45.wmf − векторный потенциал вихревого поля скорости fm46.wmf и fm47.wmf − скалярное произведение двух векторов fm48.wmf.

Таким образом, равенство (7) можно представить, с учетом (8), в стандартной форме уравнения Навье-Стокса:

fm49.wmf. (9)

Уравнение Бернулли. Это уравнение описывает стационарный поток жидкости при fm50.wmf, отсутствии турбулентности fm51.wmfи силы вязкости fm52.wmf. Тогда упрощение по fm53.wmf уравнения (9) дает уравнение или теорему Бернулли:

fm54.wmf. (10)

Уравнение Эйлера. Данное уравнение является уравнением идеальной жидкости, для которой в выражении (9):

fm55.wmf,

fm56.wmf и fm57.wmf.

Таким образом,

fm58.wmf. (11)

Уравнение гидростатики. Гидростатика предполагает, что в выражении (9) во всех слагаемых fm59.wmf. Тогда оно приобретает вид:

fm60.wmf. (12)

Таким образом, все базовые уравнения гидродинамики имеют одну и ту же формальную основу в виде соотношения (1).