В данной статье описывается изданное в 2015 году учебное пособие, в котором рассматриваются методы решения кинематических задач для плоских механизмов. Это оригинальная методика кафедры «Теоретическая механики и основы проектирования машин» ЮУрГУ, основанная на многолетнем опыте преподавателей, но, прежде всего, под руководством профессора Полецкого А.Т.
В этой методике применяется графоаналитический подход к решению кинематических задач плоского движения, сочетающий наглядность, образность графического представления полей скоростей и ускорений точек плоского механизма с аналитическим решением алгебраических уравнений проекций векторных уравнений на оси координат.
Опыт показал хорошие результаты и необходимость применения пособия в учебном процессе и в научно-исследовательской работе со студентами. Так, применение этой методики позволило при малом числе аудиторных занятий научить студента решать не только стандартные семестровые задания, но и научить лучших студентов размышлять и решать достаточно сложные олимпиадные и технические задачи кинематики [1].
Описываемое пособие состоит из 5 разделов и 1 приложения.
В первом разделе рассматриваются обобщённые координаты и уравнения плоского движения тела. Здесь вводится определение плоского движения и рассматривается вопрос о движении плоской фигуры в её плоскости, обобщённых координатах плоской фигуры и о парциальных движениях плоской фигуры.
Выбор в качестве одного из этих парциальных движений вращательного движения вокруг полюса позволяет перейти в разделе 2 к определению векторов элементарного поворота фигуры, угловой скорости фигуры и углового ускорения фигуры, а также к алгебраическим угловой скорости и углового ускорения фигуры.
В третьем разделе пособия рассматривается задача скоростей (определение скоростей точек плоской фигуры и угловой скорости плоской фигуры). Для решения задачи предлагается либо решение векторного уравнения основной теоремы кинематики твердого тела, либо использование мгновенного центра скоростей (МЦС). Векторное уравнение предлагается решать как проецированием на оси прямоугольных координат, так и графическим методом – построением треугольника скоростей.
После введения понятия МЦС, рассматриваются основные правила его нахождения.
В четвёртом разделе рассматривается нахождение ускорений точек рассматривается задача ускорений (определение ускорений точек и углового ускорения плоской фигуры). Векторное уравнение для ускорения точки плоской фигуры предлагается решать аналитически, проецируя его на оси декартовой системы координат. В этом же разделе рассматривается вопрос о нахождении мгновенного центра ускорений, (МЦУ) плоской фигуры.
В пятом разделе пособия рассматривается алгоритм решения задач кинематического анализа плоских механизмов. Вводится понятие особых кинематических точек (ОКТ) – точек сочленения и точек соприкосновения звеньев. Точкой сочленения звеньев (точку, которая по определению ТММ образует вращательную кинематическую пару) называем точку звена, которая остаётся неподвижной в пространстве другого звена. Точки сочленения звеньев имеют одинаковые скорости и ускорения по принадлежности их обоим звеньям. Точками соприкосновения звеньев являются точки контакта звеньев со скольжением или без него. Проекции скоростей точек контакта на общую нормаль равны между собой и при отсутствии проскальзывания звеньев, скорости точек контакта будут одинаковы по принадлежности их обоим звеньям. Нормальные ускорения этих точек будут различны, а касательные ускорения – равны.
Основными отличиями предлагаемой методики от известных нам и широко применяемых в вузах РФ и стран СНГ являются следующие методологические и научные приемы:
1. Требование предварительного определения типа движения звена механизма, анализ свойств точек сочленения и соприкосновения звеньев вплоть до их траекторий позволили уже на предварительном этапе без решения самой кинематической задачи добиться понимания студентом направления (последовательности) решения.
2. В методике отделена задача скоростей от задачи ускорений. Это позволяет находить пути решения более простой задачи скоростей и уже в ней определить порядок решения более громоздкой задачи ускорений. Показано, что последовательность решения задачи скоростей с помощью теоремы о распределения скоростей точек тела (с введением понятия полюса тела) совпадает с последовательностью решения задачи ускорений.
3. Одной из приятных возможностей данной методики является предварительная оценка замкнутости (возможности решения) полученных векторных уравнений без проектирования их на оси. Это упрощает логику рассуждений и позволяет заранее понять, решится кинематическая задача (скоростей или ускорений) или нет.
После изложения алгоритма решения задач по кинематике плоских механизмов даются примечания к алгоритму. В учебном пособии приводится 8 примеров решения задач. Сначала рассматриваются простейшие механизмы: кривошипно-шатунный, шарнирный четырёхзвенник и одноступенчатый планетарный. На этих простых примерах раскрывается суть применения вышеуказанного алгоритма.
В числе задач рассматривается также кинематика кулисного механизма, для исследования которого требуется знание теории поступательного, вращательного, плоского движения тела, а также теории сложного движения точки.
Среди последних примеров рассматриваются механизмы, где выбор пути решения кинематической задачи сопряжен с некоторыми сложностями, требует дополнительных рассуждений. Это задачи повышенной сложности, олимпиадного типа. Здесь авторы сумели обосновать и выработать логику (последовательность) решения задач, когда правильный выбор начального звена или совместное решение векторных уравнений для нескольких звеньев, контактирующих друг с другом, приводят с помощью излагаемой методики к решению задачи.
Подобный подход показал эффективность не только в обычном учебном процессе, но и при подготовке одаренных студентов [2].
В приложении рассматриваются также возможности применения пакета MathCAD для кинематического анализа плоских механизмов. В качестве примера демонстрируется решение задачи положений, скоростей и ускорений для плоского механизма шагового конвейера.
Привод представляет собой шарнирный четырёхзвенный механизм, кривошип которого совершает полный оборот с постоянной угловой скоростью, а коромысло – качающееся вращательное движение.
Применяемый способ демонстрирует возможность применение вычислительного блока «Given . . . Find» для определения корней систем трансцендентных уравнений не только в одном положении, но сразу на всем множестве положений механизма.
Все примеры решения задач в пакете MathCAD приводятся в пособии в той форме, как они должны выглядеть в программе. Это позволяет студенту освоить или повысить свои навыки в пакете и достаточно быстро использовать указанные приемы при решении многих задач. Объём пособия – 80 страниц, иллюстраций – 53.
Южно-Уральский государственный университет https://susu.ru