В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач в области распространения волн напряжений в строительных объектах при нестационарных сейсмических воздействиях. Рассматриваемые физические процессы решаются с помощью методов математического моделирования, который в настоящее время является одним из мощных инструментов исследования.
Некоторые результаты в области целого комплекса проблем волнового воздействия на сооружения с окружающей средой рассмотрены в следующих работах [1–10].
Для решения краевой задачи используется метод конечных элементов в перемещениях. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов (однородный алгоритм). Решение двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями осуществляем с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Для решения поставленной задачи используем метод конечных элементов в перемещениях. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для некоторого тела, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (1)
где 
– матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор узловых упругих внешних сил.
Соотношение (1) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (1).
Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Для интегрирования уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (2)
Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
, (3)
где 
– шаг по временной переменной.
Шаг по временной переменной 
определяем из следующего соотношения
, (4)
где 
– длина стороны конечного элемента; Cp – скорость распространения продольной волны.
Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной схемы.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения.
Некоторая информация о достоверности разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–7, 9–10].
1. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.
Рис. 1. Постановка задачи для свободного круглого отверстия
В сечении на расстоянии 1,9Н (рис. 1) при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) скорость упругого перемещения 
изменяется линейно от 0 до P (
(
МПа)), а при 
. Контур круглого отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 
Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при 
. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,18 м; ∆t = 0,407·10-5 c; E = 0,36·104 MПа; n = 0,36; r = 0,122·104 кг/м3; Сr = 1841 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Контур круглого отверстия аппроксимирован 28 узловыми точками.
2. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.
Рис. 2. Постановка задачи для свободного квадратного отверстия
В сечении на расстоянии 1,9H (рис. 2) при 
скорость упругого перемещений 
изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 
(
(
МПа)). Контур квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 
. Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.
3. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,8H (рис. 3) при 0 ≤ n ≤ 10 скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 
(
(
МПа (–1 кгс/см2))). Контур выреза ABCDEF (кроме точки B) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHA при 
Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1464 узловых точек.
Рис. 3. Постановка задачи для выреза треугольного профиля
4. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 4) при 
(
) скорость упругого перемещения 
изменяется линейно от 0 до 
, а при 
(
МПа). Внутренний контур подкрепленного отверстия ABCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 
. Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при 
.
Рис. 4. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия
Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,2 м; ∆t1 = 0,186·10-5 c; E1= 0,72·105 MПа; ν1= 0,3; ρ1= 0,275·104 кг/м3; Сp1 = 5364 м/с; ∆t2 = 0,407·10-5 c; E2 = 0,36·104 MПа; ν2 = 0,36; ρ2 = 0,122 · 104 кг/м3; Сp2 = 1841 м/с (…1 – подкрепление; …2 – среда).
Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.
5. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.
Рис. 5. Постановка задачи для подкрепленного квадратного отверстия
Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 5) при 
скорость упругого перемещения 
изменяется линейно от 0 до 
, а при 
(
МПа). Внутренний контур подкрепленного квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 
. Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при 
. Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:
Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие.
Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие.
Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля.
Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие.
Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.
Методика, алгоритм, комплекс программ и результаты решенных задач рекомендуются для использования в научно-технических организациях, специализирующихся в области динамического расчета сооружений с окружающей средой.
Математическое моделирование позволяет учесть инженерные объекты при решении задач о безопасности территорий при нестационарных волновых сейсмических воздействиях.