Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,484

NUMERICAL SIMULATION OF TRANSIENT ELASTIC STRESS WAVES IN SOME PROBLEMS OF METHODOLOGICAL NATURE

Musayev V.K. 1
1 MSMU
2285 KB
Provides information on the modeling of transient stress waves in deformable regions using the finite element method in movements. Problems are solved by a method of capturing, without isolation gaps. We have used the homogeneous algorithm. For the main unknown in the node of the finite element has two elastic displacements and two speeds of elastic displacements. The basic relation of the finite element method in the movements on the spatial coordinates is obtained using the principle of possible displacements, i.e. using the method of dynamic equilibrium of internal and external forces. For approximation on the spatial coordinates used triangular finite elements with linear approximation of elastic displacements and rectangular finite element with four nodal points with bilinear approximation of elastic displacements. For approximation on the time coordinate used linear nite elements with two nodal points with a linear approximation of the displacements. When developing complex programs used algorithmic language Fortran-90. Applies quasi-regular approach in approximating the study area. The following tasks. Discusses the problem of the influence of plane longitudinal elastic wave by a free round hole. Discusses the problem of the influence of plane longitudinal elastic wave by a free square hole. Discusses the problem of the influence of plane longitudinal elastic wave by a triangular cutout profile. Discusses the problem of the influence of plane longitudinal elastic wave by a reinforced round hole. Discusses the problem of the influence of plane longitudinal elastic wave by a reinforced square opening.
dynamics of continuous media
wave propagation
wave theory
the half-plane
the algorithmic language Fortran-90
and numerical method
algorithm
complex programs
finite elements of first order
conditions at the front of the plane wave
pulse effects
the Heaviside function
the voltage on the front of a plane wave
free
round hole
free square hole
backed up by a round hole
reinforced by a square hole
cut a triangular profile

В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач в области распространения волн напряжений в строительных объектах при нестационарных сейсмических воздействиях. Рассматриваемые физические процессы решаются с помощью методов математического моделирования, который в настоящее время является одним из мощных инструментов исследования.

Некоторые результаты в области целого комплекса проблем волнового воздействия на сооружения с окружающей средой рассмотрены в следующих работах [1–10].

Для решения краевой задачи используется метод конечных элементов в перемещениях. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов (однородный алгоритм). Решение двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями осуществляем с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Для решения поставленной задачи используем метод конечных элементов в перемещениях. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для некоторого тела, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mus1.wmf, mus2.wmf,

mus3.wmf, (1)

где mus4.wmf – матрица инерции; mus5.wmf – матрица жесткости; mus6.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus7.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus8.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus9.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (1) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (1).

Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Для интегрирования уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

mus10.wmf, mus11.wmf. (2)

Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus12.wmf,

mus13.wmf, (3)

где mus14.wmf – шаг по временной переменной.

Шаг по временной переменной mus14.wmf определяем из следующего соотношения

mus16.wmf, (4)

где mus17.wmf – длина стороны конечного элемента; Cp – скорость распространения продольной волны.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной схемы.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения.

Некоторая информация о достоверности разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–7, 9–10].

1. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.

musa1.tif

Рис. 1. Постановка задачи для свободного круглого отверстия

В сечении на расстоянии 1,9Н (рис. 1) при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) скорость упругого перемещения mus19.wmf изменяется линейно от 0 до P (mus22.wmf (mus23.wmf МПа)), а при mus24.wmf mus25.wmf. Контур круглого отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 mus26.wmf Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при mus27.wmf. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,18 м; ∆t = 0,407·10-5 c; E = 0,36·104 MПа; n = 0,36; r = 0,122·104 кг/м3; Сr = 1841 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Контур круглого отверстия аппроксимирован 28 узловыми точками.

2. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие. Начальные условия приняты нулевыми.

musa2.tif

Рис. 2. Постановка задачи для свободного квадратного отверстия

В сечении на расстоянии 1,9H (рис. 2) при mus28.wmf скорость упругого перемещений mus29.wmf изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 mus30.wmf (mus31.wmf (mus32.wmf МПа)). Контур квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура EFGH при t > 0 mus33.wmf. Отраженные волны от контура EFGH не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.

3. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,8H (рис. 3) при 0 ≤ n ≤ 10 скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до Р, а при n > 10 mus34.wmf (mus35.wmf(mus36.wmf МПа (–1 кгс/см2))). Контур выреза ABCDEF (кроме точки B) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHA при mus37.wmf Отраженные волны от контура FGHA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Исследуемая расчетная область имеет 1464 узловых точек.

musa3.tif

Рис. 3. Постановка задачи для выреза треугольного профиля

4. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 4) при mus38.wmf (mus39.wmf) скорость упругого перемещения mus40.wmf изменяется линейно от 0 до mus41.wmf, а при mus42.wmf mus43.wmf (mus44.wmf МПа). Внутренний контур подкрепленного отверстия ABCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 mus45.wmf. Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при mus46.wmf.

musa4.tif

Рис. 4. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия

Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 0,2 м; ∆t1 = 0,186·10-5 c; E1= 0,72·105 MПа; ν1= 0,3; ρ1= 0,275·104 кг/м3; Сp1 = 5364 м/с; ∆t2 = 0,407·10-5 c; E2 = 0,36·104 MПа; ν2 = 0,36; ρ2 = 0,122 · 104 кг/м3; Сp2 = 1841 м/с (…1 – подкрепление; …2 – среда).

Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.

5. Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.

musa5.tif

Рис. 5. Постановка задачи для подкрепленного квадратного отверстия

Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 5) при mus47.wmf скорость упругого перемещения mus48.wmf изменяется линейно от 0 до mus49.wmf, а при mus50.wmf mus51.wmf (mus52.wmf МПа). Внутренний контур подкрепленного квадратного отверстия АBCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t > 0 mus53.wmf. Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при mus54.wmf. Исследуемая расчетная область имеет 1337 узловых точек.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие.

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное квадратное отверстие.

Рассмотрена постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на вырез треугольного профиля.

Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие.

Рассматривается постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное квадратное отверстие.

Методика, алгоритм, комплекс программ и результаты решенных задач рекомендуются для использования в научно-технических организациях, специализирующихся в области динамического расчета сооружений с окружающей средой.

Математическое моделирование позволяет учесть инженерные объекты при решении задач о безопасности территорий при нестационарных волновых сейсмических воздействиях.