Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,484

THE USE OF COMPUTER MATHEMATICS MAPLE IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Sherstneva N.A. 1
1 Smolensk State University
2389 KB
The article shows how the system of computer mathematics Maple can be used in the study of topics «Integral calculus of functions of several variables». Examples illustrating the process of calculating and disclosing the triple integral applied nature of the material.
double and triple integral
applications of multiple integrals geometry system
of computer mathematics Maple

Тема «Интегральное исчисление функций нескольких переменных» занимает важное место в образовательном процессе в высшей школе. Она имеет большое значение, как в самой математике, так и широко используется при решении прикладных задач. При этом, чтобы сделать процесс математического моделирования изучаемых практических задач более наглядным и понятным оказываются полезными различные пакеты систем компьютерной математики, в частности, можно применить систему Maple.

Цель исследования. Рассмотреть возможности системы компьютерной математики Maple для вычисления кратных интегралов и решения прикладных задач.

Материал исследования. Рассмотрим несколько примеров, связанных с вычислением кратных интегралов или с их приложениями в геометрии, и покажем возможности решения данных заданий в системе Maple.

Пример 1. Вычислить интеграл

sherst1.wmf,

где тело (V) ограничено поверхностями x = 2, y = 2x, y = 0, z = 0, z = xy.

sher1.tif

 

Решение. Так как выполнение пространственных чертежей вручную весьма затруднительно, то воспользуемся компьютером для создания наглядного образа. Сначала попытаемся использовать одинаковый масштаб по осям координат:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(2),(u),(v)],u=0..4,v=0..2*u,axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),(2*u),(v)],u=0..2,v=0..(u^2)*2,axes=normal):

> A3:=plot3d([(u),(0),(v)],u=0..2,v=0..0,axes=normal):

> A4:=plot3d([(u),(v),(0)],u=0..2,v=0..2*u,axes=normal):

> A5:=plot3d([(u),(v),(u*v)],u=0..2,v=0..2*u,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z],scaling=constrained);

Как видно, этот подход не очень удачен. Поэтому для наглядности иллюстрации воспользуемся разным масштабом по осям координат:

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z]);

sher2.tif

Область является правильной относительно всех осей. При проектировании тела на плоскость Оху получим:

> inequal({y<x*2,x=2,y=0},x=0..2,y=0..4,optionsfeasible=(color=green),optionsexcluded= (color=white),axes=normal,labels=[x,y],

scaling=CONSTRAINED);

sher2a.tif

Исходный интеграл сводится к повторному:

sherst2.wmf = sherst3.wmf=

=sherst4.wmf = sherst5.wmfsherst6.wmf =

= sherst7.wmfsherst8.wmf = sherst9.wmfsherst10.wmf =

sherst11.wmfsherst12.wmf = sherst13.wmf.

Вычисление интеграла в Maple происходит следующим образом:

> with(student):

> Tripleint((x*z)^2, z=0..x*y, y=0..2*x, x=0..2);

sher1a.tiff

> value(%);

sher1b.tif

Пример 2. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидом sherst14.wmf и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости Oxy прямыми x = ±1, y = ±1.

Решение. Прежде всего, делаем рисунок с помощью системы Maple:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(u),(v),(4-u^2-v^2)], u=-1..1,v=-1..1,

axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),(v),(0)],u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A3:=plot3d([(1),(u),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A4:=plot3d([(-1),(u),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A5:=plot3d([(u),(1),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> A6:=plot3d([(u),(-1),(v)],u=-1..1, v=0..3-u^2,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5,A6}, labels=[x,y,z],scaling=constrained, view = [-1.5 .. 1.5, -1.5 .. 1.5, 0 .. 4.5]);

sher3.tif

Так как основанием бруса служит квадрат со сторонами, параллельными координатным осям Ox и Oy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. Используя формулу

sherst15.wmf,

получим:

V = sherst16.wmf =

= sherst17.wmf =

=sherst18.wmf = sherst19.wmf =

= sherst20.wmfsherst21.wmf = 13sherst22.wmf.

Вычисление интеграла в Maple выглядит следующим образом:

> with(student):

> Doubleint(4-x^2-y^2, y=-1..1, x=-1..1);

sher2c.tiff

> value(%);

sher2d.tiff

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности sherst23.wmf, вырезанной цилиндром sherst24.wmf.

Решение. Контуром проекции вырезанной части на плоскость Оху является лемниската sherst25.wmf.

Построим общий вид пересекающихся поверхностей:

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(u),(v),((u^2+v^2)/2)], u=-4..4,v=-4..4,axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),((1/2)*sqrt(-2-4*u^2+2*sqrt(8*u^2+1))),(v)], u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A3:=plot3d([(u),(-(1/2)*sqrt(-2-4*u^2+2*sqrt(8*u^2+1))),(v)],u=-1..1, v=-1..1,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5},labels=[x,y,z],scaling=constrained,view = [-1.5 .. 1.5, -1.5 .. 1.5, 0 .. 1]);

sher4.tif

Построим вырезаемую цилиндром поверхность:

sher3a.tiff

sher5.tif

Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Из уравнения параболоида

sherst26.wmf

получим подынтегральную функцию, для которой

sherst27.wmf,

sherst28.wmf.

Следовательно,

sherst29.wmf.

Преобразуем интеграл к полярным координатам sherst30.wmf. Подынтегральная функция запишется в виде

sherst31.wmf,

а уравнение лемнискаты – в виде

sherst32.wmf,

или sherst33.wmf. Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей Охz, Oyz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости Oxz:

sherst34.wmf,

откуда

sherst35.wmf.

Вычисление интеграла в Maple:

> with(student):Doubleint(4*rho*sqrt(1+rho^2), rho=0..sqrt(cos(2*phi)), phi=0..Pi/4);

sher6.tiff

> value(%);

sher7.tif

Заключение

Применение в учебном процессе не только «ручных», но и компьютерных вычислений делает процесс математического моделирования ситуации более наглядным и представимым для обучающихся (особенно в случае трёхмерного пространства); позволяет уменьшить трудоёмкость выкладок (что особенно важно при изучении курса высшей математики на непрофильных направлениях подготовки) и сравнить математический и компьютерный методы решения одной и той же математической проблемы (что полезно для студентов профильного уровня обучения).

sher1.tif