В статье рассмотрены основы исследования прибортового массива, сложенного пластичными породами. В процессе горных работ происходит изменение параметров откоса (высоты, угла наклона и конфигурации), что приводит к изменению напряженно-деформированного состояния прибортового массива. При неизменных конструктивных параметрах борта происходят изменения поля напряжений и деформаций во времени, которые начинают отсчет с момента времени t0 начала формирования откоса. В результате изменения напряженно-деформированного состояния в прибортовом массиве возникают предельные (пластические) зоны в соответствии с теорией предельного равновесия. Несущая способность этих участков достигает своего предела и дальнейший рост напряжений там невозможен, происходит перераспределение напряжений на окружающий массив и рост пластической области.
Нарушение устойчивого состояния прибортового массива связано с возникновением и развитием областей пластического (предельного) состояния горных пород и формированием в них поверхностей скольжения.
В процессе горных работ происходит изменение параметров откоса (высоты, угла наклона и конфигурации), что приводит к изменению напряженно-деформированного состояния прибортового массива. При неизменных конструктивных параметрах борта происходят изменения поля напряжений и деформаций во времени, которые начинают отсчет с момента времени t0 начала формирования откоса. В результате изменения напряженно-деформированного состояния в прибортовом массиве возникают предельные (пластические) зоны в соответствии с теорией предельного равновесия. Несущая способность этих участков достигает своего предела и дальнейший рост напряжений там невозможен, происходит перераспределение напряжений на окружающий массив и рост пластической области. Достижение откосом предельного состояния означает формирование сплошной пластической области, отделяющей откос от прибортового массива, в которой формируются поверхности скольжения. При решении плоской задачи теории предельного равновесия в исследуемой области формируется два семейства линий скольжения (в соответствии с парностью касательных напряжений), которые представляют собой след поверхности скольжения в исследуемой плоскости. Линии скольжения в каждой своей точке касаются площадки максимального касательного напряжения и могут быть описаны параметрическими уравнениями
x = x (α;β); y = y (α;β), (1)
где α;β – параметры линии скольжения.
При использовании теории предельного равновесия в качестве гипотезы прочности, отклонение линий скольжения от первого главного напряжения составит угол ±(45° – ρ/2).
Обозначим θ угол наклона касательной к линии первого семейства, отсчитываемый в положительном направлении от оси X. Тогда дифференциальные уравнения линий 1-го семейства (α-линии) и 2-го семейства (β-линии) соответственно будут иметь вид
(2)
Рассмотрим откос высотой Н и углом откоса α, находящийся в предельном состоянии. Построим предполагаемую круглоцилинд-рическую поверхность скольжения, для чего определяем ширину призмы возможного обрушения по формуле [1]
(3)
где 
Разбиваем призму возможного обрушения и поверхность откоса на N равных частей и строим N поверхностей скольжения. Построенное семейство дуг окружностей приближенно совпадает с линиями скольжения 1-го рода. При построении линий скольжения 2-го рода учитывается то обстоятельство, что линии скольжения 1-го и 2-го рода пересекаются под углом (90° – r). Такое разбиение призмы возможного обрушения на блоки отвечает физической сущности деформирования приоткосного массива [1]. С глубины Н90 массив достигает предельного (пластического) состояния, которое, очевидно, распространяется на область СДЕ и полосу малой ширины, заключающую линию скольжения АЕ. Уравнение предельного равновесия Кулона является, по сути, уравнением физической модели жестко-пластического тела с элементом трения. В прямоугольной системе координат XYZ, где ось Z перпендикулярна плоскости сечения, а sz является одним из главных напряжений, имеем
σz – σ = 0; σ = 0,5 (σx + σy). (4)
Остальные главные напряжения являются корнями квадратного уравнения
(5)
откуда
(6)
Таким образом, главные напряжения равны
σ1 = σ + τ; σ2 = σ; σ3 = σ – τ, (7)
где максимальное касательное напряжение
(8)
Напряженное состояние в каждой точке массива характеризуется наложением гидростатического напряженного состояния на напряжения чистого сдвига [1]. При достижении пластического состояния должно выполняться условие текучести
τ = τs = const, или σmax – σmin = 2 τs. (9)
В соответствии с теорией предельного равновесия
Из формулы (8) получим
(10)
Добавим к этому условию два дифференциальных уравнения равновесия с учетом объемных (гравитационных) сил
(11)
Если на границе рассматриваемой области заданы напряжения, то имеем полную систему уравнений равновесия для определения напряженного состояния в состоянии текучести
(12)
Обозначим полусумму главных напряжений через σ, а полуразность – через ε и перейдем к углу θ = [(1, x) – π/4]. Тогда
(13)
При этом условие текучести выполняется. Подставляя полученные значения в уравнения равновесия (11), получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций σ(x, y) и θ(x, y)
(14)
Данная система уравнений является системой гиперболического типа, которая имеет два различных вещественных семейства характеристических линий, совпадающих с линиями скольжения.
Для произвольной точки линии скольжения справедливы соотношения Г. Генки [3]
– для семейства линий a
(15)
– для семейства линий b
(16)
где x и h – постоянные величины.
При переходе от одной линии скольжения семейства α к другой параметр ξ изменяется. Аналогично, при переходе от одной линии семейства β к другой изменяется параметр η. Таким образом, ξ зависит только от параметра β, а η – только от α, т.е.
ξ = ξ(β); η = (α).
Если определено поле линий скольжения и на них значения параметров ξ и η, то в каждой точке известны σ и θ, т.е. известны компоненты напряжений.
Система дифференциальных уравнений равновесия (14) может быть линеаризована. За неизвестные функции удобно принять параметры ξ и η. Выполним замену
σ = ε(ξ + η);
Умножая затем второе из полученных уравнений последовательно на tgθ и (–ctgθ) и складывая с первым, получаем
(17)
Получаем линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Построение аналитических решений для линеаризованных уравнений (17) связано с большим объемом вычислений. Более простыми и доступными являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании свойств линий скольжения [1]. Множество плоских задач теории пластичности можно представить как комбинацию трёх основных элементарных задач – задачи о начальных (граничных) значениях (задача Коши), начальная характеристическая задача (задача Римана) и смешанная задача [1]. Таким образом, при исследовании напряженного состояния прибортового массива необходимо решать задачу Коши для области CDE (рисунок 1), имеющую прямолинейную свободную границу CD, равномерно загруженную давлением р = – γН90. Вдоль границы CD имеем равномерное напряженное состояние
σу = –γН90;
σх = ±2ε – γН90;
τху = 0;
θ = π/2 – μ = π/4 + ρ/2.
При построении решений в области, расположенной ниже призмы активного давления, принимаем в качестве семейства a-линий скольжения семейство дуг окружностей, образующих угол m = π/4 – ρ/2 с поверхностью откоса у нижней бровки и вертикалью на сопряжении с призмой CDE. Таким образом, величина угла θ изменяется от (π/4 + ρ/2) на границе с призмой до (α – μ) на поверхности откоса. Угол θ в любой точке А дуги скольжения может быть определен по формуле
(18)
где х0, у0 – координаты центра окружности; хА, уА – координаты точки А дуги скольжения.
Если ввести естественную прямоугольную систему координат S1AS2, связанную с a-линиями скольжения и повернутую относительно системы координат ХОУ на угол θ, то дифференциальные уравнения равновесия (14) примут вид
(19)
Уравнения равновесия (19) справедливы для произвольной системы координат S1AS2. Если координатная ось AS1 совпадает с направлением касательной к α-линии скольжения, то уравнения принимают более простую форму
(20)
Соотношения Генки для плоской задачи в области прибортового массива, где удовлетворяются условия пластичности и предельного равновесия вдоль линий скольжения α и β, примут вид:
– для α-линий
(21)
– для b-линий
(22)
В пределах элементарного блока расчетной сетки принимаем θ = const, тогда дифференциальные уравнения можно заменить уравнениями в приращениях
(23)
Складывая оба уравнения, получим
(24)
Вычитая из второго уравнения системы первое, получим
(25)
Сгущаем расчетную сетку в пределах каждого элементарного блока и вычисляем значения θ в узлах сетки по формуле (17). Переходим от дифференциальных соотношений (20) и (21) к конечно-разностным, последовательно определяя значения σ в узлах сетки. При рассмотрении напряженного состояния массива, расположенного ниже призмы активного давления, для каждого четырехугольного расчетного блока необходимо решать начальную характеристическую задачу, а для последнего треугольного блока каждого слоя – смешанную задачу со свободной границей, лежащей на поверхности откоса.