В последнее время рассмотрение основных вопросов теории нечетких множеств проводится в основном без широкого привлечения аппарата нечеткой логики [1]. Так же, как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в теории нечетких множеств по нашему мнению должна использоваться нечеткая логика как в узком (FL.n), так и в широком (FL.b) смысле [3].
В данной работе мы предлагаем рассмотрение основ теории нечетких множеств и понятия системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики.
Основные понятия теорий нечетких множеств и нечёткой логики будем полагать такими же как и в [1–5].
Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть и
– нечеткие множества в Х, причём
где величины μA(x) и μB(x) понимаются как нечеткие высказывательные переменные.
Введем понятие степени включения нечеткого множества
в нечеткое множество
, которое находится по формуле
где «→» – операция нечеткой импликации, а – операция нечеткой конъюнкции, которая берется по всем x ∈ X. Естественно, что аналогичным образом можно определить и степень включения
нечеткого множества
в множество
[2; 4].
Если , то будем полагать, что множество
нечетко включается во множество
, и обозначать
. Если
, то считаем, что множество
нечетко не включается во множество
, обозначается
[2; 4].
Определим степень равности нечетких множеств и
выражением
где «↔» – операция нечеткой эквивалентности. Если , то будим полагать, что множества
и
нечетко равны, и обозначать
. Если
, то считаем, что множества
и
нечетко не равны, и обозначаем
В случае, когда
, множества
и
одновременно нечетко равны и не равны. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают
[2; 4].
Если и
, то будем говорить, что
нечетко строго включается во множество
.
Объединением множеств и
назовем нечеткое множество определяемое как
где здесь ˅ – нечеткая дизъюнкция, а
– нечеткое высказывание, определяющее степень принадлежности элемента x ∈ X множеству
которое является таким, что
и
[2].
Пересечением множеств и
называется нечеткое множество определяемое как
где Здесь нечеткая конъюнкция, а
– нечеткие высказывание, определяющее степень истинности принадлежности элемента x ∈ X множеству
, которое является таким, что
и
[2].
Разностью множеств и
называется нечеткое множество где
Здесь ¬ –операция нечеткого отрицания, а – нечеткое высказывание, определяется степень принадлежности элемента x ∈ X множеству
.
Симметрическая разность и
называется нечеткое множество
, где
которое является нечетким высказыванием, определяющим степень принадлежности элемента x ∈ X множеству
.
Рассмотрим основные определения систем нечетких множеств. Системой нечетких множеств некоторого множества
будем называть нечеткое множество, элементами которого являются нечеткие множества,
. При этом Х – любое множество, содержащее все множества системы
однако, среди них всегда можно выбрать наибольшее, которое называется единицей системы
Ясно что, единица нечетко совпадают с объединением всех нечетких подмножеств этой системы.
Кольцом нечетких подмножеств некоторого нечеткого множества называется система
, замкнутая относительно операций нечеткого объединения, нечеткого пересечения, и нечеткой разницы, то есть из того что
следует, что
,
. Очевидно, что нечеткая симметрическая разность также принадлежит кольцу.
Алгеброй нечетких множеств называется кольцо, содержащее единицу
. σ – кольцом называется нечеткое кольцо, замкнутое относительно операции нечеткого счетного объединения; σ – алгеброй, называется σ – кольцо с
. Полукольцом нечетких подмножеств некоторого множества
называется система
, замкнутая относительно операции нечеткого пересечения, содержащая
и такое, что если
,
, то
,
.
В данной работе изложено элементы теории нечетких множеств и рассмотрены основные системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики как в узком так и в широком смысле. Полученные в работе результаты в дальнейшем могут быть использованы для построения теории меры абстрактных нечетких множеств.