В последнее время рассмотрение основных вопросов теории нечетких множеств проводится в основном без широкого привлечения аппарата нечеткой логики [1]. Так же, как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в теории нечетких множеств по нашему мнению должна использоваться нечеткая логика как в узком (FL.n), так и в широком (FL.b) смысле [3].
В данной работе мы предлагаем рассмотрение основ теории нечетких множеств и понятия системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики.
Основные понятия теорий нечетких множеств и нечёткой логики будем полагать такими же как и в [1–5].
Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть 
и 
– нечеткие множества в Х, причём
где величины μA(x) и μB(x) понимаются как нечеткие высказывательные переменные.
Введем понятие степени включения 
нечеткого множества 
в нечеткое множество 
, которое находится по формуле
где «→» – операция нечеткой импликации, а 
– операция нечеткой конъюнкции, которая берется по всем x ∈ X. Естественно, что аналогичным образом можно определить и степень включения 
нечеткого множества 
в множество 
[2; 4].
Если 
, то будем полагать, что множество 
нечетко включается во множество 
, и обозначать 
. Если 
, то считаем, что множество 
нечетко не включается во множество 
, обозначается 
[2; 4].
Определим степень равности нечетких множеств 
и 
выражением
где «↔» – операция нечеткой эквивалентности. Если 
, то будим полагать, что множества 
и 
нечетко равны, и обозначать 
. Если 
, то считаем, что множества 
и 
нечетко не равны, и обозначаем 
В случае, когда 
, множества 
и 
одновременно нечетко равны и не равны. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают 
[2; 4].
Если 
и 
, то будем говорить, что 
нечетко строго включается во множество 
.
Объединением множеств 
и 
назовем нечеткое множество определяемое как
где 
здесь ˅ – нечеткая дизъюнкция, а 
– нечеткое высказывание, определяющее степень принадлежности элемента x ∈ X множеству 
которое является таким, что 
и 
[2].
Пересечением множеств 
и 
называется нечеткое множество определяемое как
где 
Здесь нечеткая конъюнкция, а 
– нечеткие высказывание, определяющее степень истинности принадлежности элемента x ∈ X множеству 
, которое является таким, что 
и 
[2].
Разностью множеств 
и 
называется нечеткое множество где
Здесь ¬ –операция нечеткого отрицания, а 
– нечеткое высказывание, определяется степень принадлежности элемента x ∈ X множеству 
.
Симметрическая разность 
и 
называется нечеткое множество 
, где 
которое является нечетким высказыванием, определяющим степень принадлежности элемента x ∈ X множеству 
.
Рассмотрим основные определения систем нечетких множеств. Системой нечетких множеств 
некоторого множества 
будем называть нечеткое множество, элементами которого являются нечеткие множества, 
. При этом Х – любое множество, содержащее все множества системы 
однако, среди них всегда можно выбрать наибольшее, которое называется единицей системы 
Ясно что, единица нечетко совпадают с объединением всех нечетких подмножеств этой системы.
Кольцом нечетких подмножеств некоторого нечеткого множества 
называется система 
, замкнутая относительно операций нечеткого объединения, нечеткого пересечения, и нечеткой разницы, то есть из того что 
следует, что 
, 
. Очевидно, что нечеткая симметрическая разность также принадлежит кольцу.
Алгеброй 
нечетких множеств называется кольцо, содержащее единицу 
. σ – кольцом называется нечеткое кольцо, замкнутое относительно операции нечеткого счетного объединения; σ – алгеброй, называется σ – кольцо с 
. Полукольцом нечетких подмножеств некоторого множества 
называется система 
, замкнутая относительно операции нечеткого пересечения, содержащая 
и такое, что если 
, 
, то 
, 
.
В данной работе изложено элементы теории нечетких множеств и рассмотрены основные системы нечетких множеств с привлечением аппарата нечеткой логики как в узком так и в широком смысле. Полученные в работе результаты в дальнейшем могут быть использованы для построения теории меры абстрактных нечетких множеств.