Постановка задачи
Для решения задачи о моделировании нестационарных волн в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY (рис. 1), которому в начальный момент времени 
сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
×
=
, 
,
=
×
,
=
×
, 
, (1)
где 
, 
и 
– компоненты тензора упругих напряжений; 
, 
и 
– компоненты тензора упругих деформаций; u и 
– составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; 
– плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; 
– коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Начальные условия в области Г зададим в виде
=
, 
=
, 
, (2)
где 
, 
, 
и 
– заданные в области Г функции.
Граничные условия зададим в виде:
составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе 
×
=
, 
; (3)
составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2
=
, 
, (4)
где l и m – направляющие косинусы; 
, 
, 
и 
– заданные на границе S функции.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1–4) – используем метод конечных элементов в перемещениях.
Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач для областей сложной формы рассмотрены в следующих работах [1–10].
Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.
Для решения линейных дифференциальных уравнений (1–4) используем метод конечных элементов в перемещениях.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (5)
где 
– матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор узловых упругих внешних сил.
Соотношение (5) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1–4) привели к линейной задаче Коши (5).
Матрица жесткости, вектор инерции и упругие напряжения в центре тяжести треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками (рис. 2) представим в следующем виде
; (6)
; (7)
,
,
, (8)
где 
;
;
;
;
– толщина треугольного конечного элемента.
Матрица жесткости, вектор инерции и упругие напряжения в центре тяжести прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками (рис. 3) представим в следующем виде
; (9)
; (10)
,
,
, (11)
где 
;
;
;
;
;
;
;
;
; 
;
h – толщина прямоугольного конечного элемента.
Определим упругое контурное напряжение на границе области, свободной от нагрузок. С помощью вырождения прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками получим контурный конечный элемент с двумя узловыми точками (рис. 4).
Рис. 2. Треугольный конечный элемент с тремя узловыми точками
Рис. 3. Прямоугольный конечный элемент с четырьмя узловыми точками
Рис. 4. Контурный конечный элемент с двумя узловыми точками
При повороте оси x на угол 
против часовой стрелки, получим упругое контурное напряжение 
в центре тяжести контурного конечного элемента с двумя узловыми точками
. (12)
Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующе
, 
. (13)
Интегрируя по временной координате соотношение (13) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
, 
, (14)
где 
– шаг по временной координате.
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
Система уравнений (14) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости (5), должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1–4).
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно
, (15)
где 
– длина стороны конечного элемента; r – общее число конечных элементов в исследуемой области.
Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (15).
В работах [1, 3–6, 9] приведена информация об оценке математической и физической достоверности разработанного метода, алгоритма и комплекса программ.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.