Scientific journal
International Journal of Experimental Education
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

MATHEMATICAL MODELING OF TRANSIENT ELASTIC STRESS WAVES IN THE OBJECT STORAGE OF HAZARDOUS SUBSTANCES WITH A CAVITY IN THE SHAPE OF A RECTANGLE (RATIO OF WIDTH TO HEIGHT OF ONE TO FIVE)

Musayev V.K. 1
1 MSMU
2397 KB
Provides information on numerical modelling of stress waves in an object of complex shape. The solution to the problem of elastic impact of a blast wave in the object the storage of hazardous substances. Using the finite element method differential equations reduced to linear Cauchy problem with initial conditions. With the help of the finite element Galerkin method option system of ordinary differential equations of the second order in displacements with initial conditions given by an explicit two-layer finite-element scheme in linear movements for internal and boundary nodal points in the study area. For the main unknown node finite element has two elastic movement and two speeds of elastic displacements. The basic relations of the finite element method in displacements in spatial coordinates is obtained using the principle of possible displacements, i.e. using the method of dynamic balance of internal and external forces. The problem is solved using methods of computational mechanics. To solve the problem using a numerical method, algorithm and package of programs was developed by the author. The obtained stress tensor components in the characteristic areas of the investigated problem. Given a contour stress on the free surface of an elastic half-plane. It is shown that the cavity enhance the safety of the environment from the effects of explosive object in the storage of hazardous substances.
computational experiment
impact
impulse
blast wave
impact in the form of a triangle
wave theory
explosion safety
numerical simulation
object storage of hazardous substances
vertical rectangular cavity
the elastic half-plane
non-reflecting boundary conditions
a contour stress
stress tensor components
the safety of the environment

Постановка задачи

Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY (рис. 1), которому в начальный момент времени musai2.wmf сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

muss1.tif

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

musai3.wmf, musai4.wmf,

musai5.wmf,

musai6.wmf,

musai7.wmf, musai8.wmf,

musai9.wmf, musai10.wmf, musai11.wmf,

musai12.wmf, (1)

где musai13.wmf, musai14.wmf и musai15.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; musai16.wmf, musai17.wmf и musai18.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; musai19.wmf – плотность материала; musai20.wmf – скорость продольной упругой волны; musai21.wmf – скорость поперечной упругой волны; musai22.wmf – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; musai23.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ

Конечноэлементное моделирование позволяет задачу с бесконечным числом неизвестных привести к задаче с конечным числом неизвестных, решение которой принципиально возможно на вычислительных машинах.

С помощью конечноэлементного моделирования получаем приближенное решение дифференциальной задачи, то есть задачи с начальными и граничными условиями.

В работах [1–10] приводится информация о численном моделировании нестационарного динамического напряженного состояния сложных систем с помощью разработанного метода и о постановке безопасности сложных систем.

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musai26.wmf, musai27.wmf,

musai28.wmf, (2)

где musai29.wmf – диагональная матрица инерции; musai30.wmf – матрица жесткости; musai31.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musai32.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musai33.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musai34.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musai35.wmf,

musai36.wmf. (3)

Шаг по временной переменной координате musai37.wmf выбирается из следующего соотношения

musai38.wmf musai39.wmf, (4)

где musai40.wmf – длина стороны конечного элемента.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.

В работах приведена информация о достоверности численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы с помощью разработанного метода, алгоритма и комплекса программ [1–4, 9–10].

Решение задачи о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рассмотрим задачу о воздействии взрывной волны (рис. 3) в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти) (рис. 2).

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.

По нормали к контуру IJKL приложено нормальное напряжение musai41.wmf, которое при musai42.wmf (musai43.wmf) изменяется линейно от 0 до Р, а при musai46.wmf от Р до 0 (musai49.wmf). На контуре JI приложено нормальное напряжение musai50.wmf (musai51.wmf= musai52.wmf, musai53.wmf= 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре KL приложено нормальное напряжение musai54.wmf (musai55.wmf= musai56.wmf, musai57.wmf= – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)).

muss 2.tif

Рис. 2. Постановка задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 3.tif

Рис. 3. Взрывное воздействие в виде типа дельта функции для задачи с полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

На контуре IL приложено нормальное напряжение musai58.wmf (musai59.wmf= musai60.wmf, musai61.wmf= 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре JK приложено нормальное напряжение musai62.wmf (musai63.wmf= musai64.wmf, musai65.wmf= – 0,1 МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура PQRA при musai66.wmf musai67.wmf. Отраженные волны от контура PQRA не доходят до исследуемых точек при musai68.wmf. Контур ABCDEFGHMNOP свободен от нагрузок.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: musai69.wmf; Δt = 1,393⋅10-6 с; E= 3,15⋅104 МПа (3,15⋅105 кгс/см2); ν=0,2; ρ=0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10–5 кгс с2/см4); musai73.wmf= 3587 м/с; musai74.wmf= 2269 м/с.

muss 4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения musai75.wmf во времени musai76.wmf в точке А1: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения musai77.wmf во времени musai78.wmf в точке А2: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

muss 6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения musai79.wmf во времени musai80.wmf в точке A3: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Исследуемая расчетная область имеет 14250 узловых точек. Решается система уравнений из 57000 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения musai82.wmf (musai83.wmf) во времени n в точках musai85.wmf (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H).

Выводы

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего контурного напряжения musai86.wmf в 1,462 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего контурного напряжения musai88.wmf в 1,66 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения musai90.wmf в 1,51 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения musai92.wmf в 1,84 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения musai94.wmf в 1,52 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения musai96.wmf в 1,81 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего касательного напряжения musai98.wmf в 1,81 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего касательного напряжения musai100.wmf в 1,54 раза.