Совершенствование учебного процесса в вузах предполагает использование в нём результатов эффективных научных исследований.
В учебные планы технических направлений механического и электромеханического профилей входит дисциплина «Теоретическая механика». Раздел «Динамика» этой дисциплины включает в себя изучение теории и практики решения первой (прямой) и второй (обратной) задач для материальной точки (МТ) и твёрдого тела (ТТ), которое далее в тексте будем называть телом.
С целью введения используемых в дальнейшем тексте данной работы аббревиатур напомним краткие постановки этих задач. Первая задача: по заданным кинематическим характеристикам (КХ) и массогеометрическим характеристикам (МГХ) твёрдого тела определить действующие на него моментно-силовые характеристики (МСХ). Вторая задача: по заданным МСХ, действующим на ТТ, и по заданным его МГХ определить КХ этого тела. Заметим, что МГХ ТТ – это в общем случае десять величин: масса, три осевых момента инерции, три центробежных момента инерции и три координаты его центра масс (ЦМ) в связанной с этим ТТ системе координат (СК). Для МТ первая и вторая задачи динамики ставятся аналогично задачам для ТТ с заменой МСХ силами, действующими на эту МТ и с заменой МГХ – массой этой МТ.
Итак, для выполнения математических описаний задач динамики используются три вида характеристик: МСХ, КХ, МГХ. А почему в явном виде изучаются только две задачи динамики? Почему не ставится в явном виде третья задача динамики для ТТ: по заданным МСХ, действующим на ТТ и его КХ определить его МГХ? Или аналогично для МТ: по заданным силам и КХ МТ определить её массу?
Мотивом о целесообразности постановки и изучения методов решения третьей задачи динамики ТТ и МТ является наличие достаточного количества публикаций по результатам теоретически и практически ценных научных работ (это, в частности, публикации [1–21]), в которых решаются задачи определения МГХ ТТ. Конечная цель подобных научных работ заключается в повышении качества управления движением объектов различного назначения путём оценивания или изменения их МГХ. Следует заметить, что для решения задач, рассматриваемых в указанных работах, необходима нетривиальная обработка измерительной и априорной информации, что предъявляет дополнительные требования к подготовке специалиста – владению численными методами и компьютерными технологиями.
Сказанное выше, на наш взгляд, даёт основание для рекомендации совершенствования учебного процесса по дисциплине «Теоретическая механика» путём введения в раздел «Динамика», наряду с традиционными «первой задачей динамики» (ПЗД) и «второй задачей динамики» (ВЗД), задач по определению МГХ или, как выше было сказано, введения понятия «третья задача динамики» (ТЗД). Такие задачи могут быть поставлены, во-первых, на основе использования результатов научных работ и, во-вторых, разработаны специально как учебные для практических занятий. При этом в первом варианте целесообразно вначале изложить общие теоретические основы решения подобных задач, то есть подготовить лекционный материал. Во втором варианте подобные задачи могут быть подготовлены для практических занятий с использованием традиционных знаний по теории решения первой и второй задач динамики МТ и ТТ.
Анализ задач по теме ТЗД позволяет выделить некоторые особенности решения таких задач:
1. Постоянные во времени МГХ тела определяются на основе заданных или измеренных МСХ и КХ в некоторый фиксированный момент времени.
2. Если количество определяемых постоянных во времени МГХ тела больше количества описывающих его движение уравнений динамики, то следует «набрать» необходимое количество уравнений, характеризующих движение тела в разные фиксированные моменты времени, но при этом необходимо показать существование и единственность решения полученной системы уравнений относительно неизвестных МГХ тела. В частности, для системы линейных алгебраических уравнений потребуется условие отличия от нуля её определителя в случае неоднородной системы с количеством уравнений, равным количеству неизвестных.
3. В реальных задачах, когда аналитические решения уравнений динамики тела получить не удаётся, следует составить алгоритм численного определения МГХ на основе уравнений динамики тела при заданных или измеренных МСХ и КХ путём интегрирования этих уравнений и затем решения полученных уравнений относительно МГХ тела для фиксированного момента времени с учётом сказанного в п.2.
4. Указанную в п.2 процедуру определения постоянных во времени МГХ тела в разные моменты времени его движения можно использовать и для случая одноимённых МГХ в эти моменты времени, то есть для получения нескольких численных значений одних и тех же МГХ. Определив численными методами эти МГХ тела для нескольких моментов времени и получив в общем случае отличающиеся друг от друга значения одноимённых МГХ в силу имеющихся погрешностей численных методов, следует затем найти их средние арифметические значения, которые приять в качестве искомых МГХ.
5. Для определения переменных во времени МГХ тела необходимо использовать описывающие его движение дифференциальные уравнения динамики, переписав эти уравнения относительно неизвестных МГХ, которые будут решениями полученных уравнений при заданных МСХ и КХ тела и значений его МГХ в начальный момент времени.
В качестве классических учебных задач по теме ТЗД можно использовать постановки и решения классических задач по теме ВЗД, поставив и решив ещё и соответствующую ей задачу по теме ПЗД. И после того, как это будет сделано, можно поставить и решить задачу по теме ТЗД. В качестве олимпиадных задач по теме ТЗД можно использовать олимпиадные задачи по темам ПЗД и ВЗД, «модифицированные» под постановку задач по теме ТЗД, а также результаты научных работ по определению МГХ тел на основе информации о МСХ и КХ этих тел. При этом олимпиадные задачи по теме ТЗД следует ориентировать на решение с выполнением не только математических описаний с последующими аналитическими решениями, но и с составлением алгоритмов и разработкой соответствующих компьютерных программ. Более того, имеет смысл ставить нерешённые научные задачи по определению МГХ тел в качестве олимпиадных и если участники олимпиады их решают, то рекомендовать им далее использовать эти решения в качестве задела по своим будущим научным работам.
Таким образом, по теме ТЗД могут быть задачи четырёх уровней сложности, перечисленных далее в порядке её возрастания: 1) простые задачи, составленные или заимствованные из известных сборников задач по темам ПЗД и ВЗД (оцениваемые, например, в 1–4 балла); 2) задачи повышенной сложности, составленные или заимствованные из известных сборников задач или олимпиадные задачи прошлых олимпиад по темам ПЗД, ВЗД, «модифицированные» под задачу по теме ТЗД (5–7 баллов); 3) решённые научные задачи, заимствование из неопубликованных научных работ по определению МГХ тел (8–10 баллов); 4) задачи по теме ТЗД, заимствованные из публикаций по постановкам задач научных работ, но ещё не решённые (больше 10 баллов).
Для составления учебных задач по теме ТЗД необходимо вначале поставить и решить задачи по темам ПЗД и ВЗД, а затем, используя эти решения, поставить и решить задачу по теме ТЗД с учётом указанных выше особенностей. В частности, можно дать рекомендации по составлению простых задач по теме ТЗД: 1) сформулировать постановку задачи, найти её аналитическое решение; 2) поставить соответствующие этой задаче задачи по темам ПЗД, ВЗД и найти их аналитические решения; 3) подставить численные значения в исходные параметры по ПЗД и ВЗД и определить соответствующие решения на основе аналитических решений этих задач – эти найденные численные значения будут исходными параметрами для задачи по теме ТЗД; 4) подставить эти исходные параметры в аналитическое решение задачи по теме ТЗД и сравнить полученные величины с исходными данными по МГХ в ПЗД и ВЗД: совпадение сравниваемых величин будет свидетельствовать о правильности решений всех трёх задач. Варьируя исходные данные, можно набрать необходимое количество вариантов для постановок задач по определению МГХ в рамках одной общей задачи по теме ТЗД.
При кафедре, ведущей дисциплину «Теоретическая механика», может быть создана лаборатория по экспериментальному подтверждению решений задач по теме ТЗД: 1) при заданном движении динамического стенда с размещённым на нём телом с заданными МГХ, на котором установлены «блок инерциальной информации» и «бортовой компьютер», определение КХ этого тела с целью контроля правильности измерений и вычислений – это процедура отработки правильного функционирования «блока инерциальной информации» и «бортового компьютера»; 2) при не заданном движении динамического стенда с установленным на нём телом и с установленными на нём правильно функционирующими «блоком инерциальной информации» и «бортовым компьютером» определение МГХ и КХ этого тела – это полноценная лабораторно-исследовательская задача.
Рассмотренные примеры составления и решения задач по теме ТЗД [21] дают конкретную методику использования внесённых выше предложений.
Южно-Уральский государственный университет https://susu.ru