Один из методов вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения двух функций. Рассмотрим функции
,
дифференцируемые на некотором промежутке X. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
.
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:
Так как:
то получаем:
откуда
Мы получили формулу интегрирования по частям:
(1)
Так как 
существует по условию, то 
тоже существует. Метод используется следующим образом. В 
выделяем u и dv, затем находим du, а из dv интегрированием находим 
и используем формулу интегрирования по частям. u и dv нужно выбрать так, чтобы:
Из dv легко находилась v; 
вычислялся легче, чем 
.
Замечание. Иногда интегрирование по частям приходятся применять несколько раз.
Пример 1
Вычислить интеграл 
Решение: Положим
.
Тогда
.
Используя формулу (1), получим:
.
Ответ: 
.
Пример 2
Вычислить интеграл 
Решение: Положим
Тогда
.
Используя формулу (1), получим :
Ответ: 
.
Пример 3
Вычислить интеграл 
.
Решение: Положим
Тогда 
.
Используя формулу (1), получим :
.
Положим
Тогда
.
Ответ: 
Пример 4
Вычислить интеграл: 
Решение: Положим
.
Тогда
.
Положим
Тогда
Ответ:
