Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

ЗАДАЧА О СВОБОДНЫХ АНТИПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ УПРУГИЙ СЛОЙ - ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ

Золотарев А.А. Кандалфт Х. Потетюнко Э.Н.
Упругий слой толщины H=const контактирует на границе z=0 с вязкой жидкостью бесконечной глубины. В горизонтальном направлении слой и жидкость простираются до бесконечности. Начало координат берется на нижнем основании упругого слоя, ось z направлена вертикально вверх, оси x,y - направлены горизонтально.

В общем случае краевая задача состоит из основных уравнений теории упругости, уравнений движения вязкой жидкости, уравнений неразрывности и граничных условий.

Уравнение движения упругого слоя имеет вид:

 (1)

(2)

 

Уравнение движения вязкой жидкости и неразрывности:

,=0 (3)

 

Граничные условия будут иметь вид:

при  (4)

где  j=1,2 (5)

при   (6)

при z=h

По времени и по горизонтальным координатам ставятся условия периодичности:

   T


Здесь  - вектор скорости вязкой жидкости,  - вектор деформаций в упругом слое,  - объемная сила, E - модуль Юнга, G=const-модуль сдвига, σ -коэффициент Пуассона, ρ1 - плотность материала упругого слоя, ρ2 - плотность вязкой жидкости, П1 -тензор напряжений в упругом слое, П2 - тензор напряжений в вязкой жидкости, μ - коэффициент динамической вязкости жидкости, v- коэффициент кинематической вязкости жидкости, L - длина свободных волн, K - их волновое число, T - период колебаний, ω - их частота.

,  (7)

,  (8)

,  (9)

, (10)

,  (11)

, (12)

 

Предположим что выполняются следующие условия:

,  vx≡0, vz≡0, ,vy =v(x,z,t)     (13)

Таким образом, предположим, что смещение верхней границы упругого слоя производится в направление оси Oy при отсутствии смещений в других направлениях.

Это - постановка задачи для антиплоских колебаний упругого слоя, лежащего на поверхности вязкой жидкости.

Построим решение для жидкости в виде бегущих волн:

  (14)

Убывающее на -∞ решение этого уравнения имеет вид:

       ,Re      (15)

Далее построим решение для антиплоских колебаний упругого слоя

Первое и третье уравнение системы (1) удовлетворяются тождественно, а второе уравнение и соответствующие ему граничные условия примут следующий вид:

         (16)

z=0, ,   (17) 

Решение для u ищем в виде: Имеем: 

                         (18)

Из нулевых граничных условий  при z=H находим, что B=0. Далее из (22), (23) получается следующее система уравнений:

      C=0;        (19)

 

Определитель этой системы дает частотное уравнение:

                  (20)

Его корни находятся асимптотически и численно. Асимптотики построены для случаев: K1>>1, K1<<1 при с помощью итерационных процессов. В окрестности Ω = χ построены другие асимптотические разложения.

Тем самым найдены частоты свободных антиплоских колебаний системы упругий слой - вязкая жидкость.


Библиографическая ссылка

Золотарев А.А., Кандалфт Х., Потетюнко Э.Н. ЗАДАЧА О СВОБОДНЫХ АНТИПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ УПРУГИЙ СЛОЙ - ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ // Международный журнал экспериментального образования. – 2010. – № 1. – С. 41-43;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=245 (дата обращения: 05.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074