Научный журнал

Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159

ИФ РИНЦ = 0,425

• Авторы
• Файлы

Крупенин В.Л.

Статья в формате PDF

130 KB

1. Распределенные системы соударяющиеся с прямыми протяженными ограничителями. В качестве первого примера рассмотрим струну, колеблющуюся около вибрирующей прямой протяженной стенки. Задача может быть поставлена, например, следующим образом. Пусть искомый прогиб есть и (х, t),-1/2 ≤х≤1/2; h(t) - закон Т-периодических колебаний стенки в абсолютной системе координат h (t) = -∆- εh₁ (t) < 0 (ε>0 -параметр). Считая натяжение и плотность единичными, имеем, обозначая  - оператор Д´Аламбера:

u ≥ 0, и (± 1/2, t)=0, u(x,t) ≥ h(t), t€ R.    (1)

В отсутствие контакта в первом соотношении (1) реализуется равенство, а в третьем - строгое неравенство. Во время контакта в третьем соотношении реализуется равенство, а в первом, в силу того, что ограничитель действует "от себя", - неравенство. Удар будем здесь считать абсолютно упругим:

u_t (x₀ , t₀ ,÷0)=-u_t (x₀ , t₀ -0) + 2h(t_o), u(x_o, t_o) ≡ h(t_o).   (2)

Разыскиваемые обобщенные решения должны удовлетворять также условию

supp ‫и Ç{(х, t); u(x,t) = h(t)}. (3)

Показывается, что в вырожденной консервативной системе при ε = 0 существует единственное двухпараметрическое семейство стоячих волн (называемых также хлопками), сохраняющих периодичность вне зависимости от метрических соотношений между длиной струны (здесь равной 1) и величиной зазора (Δ). Хлопки имеют трапециевидные профили; меньшие основания трапеций равномерно движутся вверх или вниз; в крайнем верхнем положении они вырождаются в точку; в крайнем нижнем положении происходит удар. В общем случае все движения почти периодичны и их можно представить как А [у₁ (х, t), у₂ (х, t)], где функция А описывает хлопок. Функции y_1,2 однозначно определяются начальными условиями. Поэтому, хотя хлопки порождаются весьма частными начальными условиями (u_t (х, 0) = 0, и(х, 0) = u₀^* (1-2 |х| )), их роль в механике систем такого рода весьма принципиальна [2].

Экспериментально доказано, в частности, что при реализации хлопков стоячие волны ведут себя аналогично массивному телу, соединенному с пружиной и соударяющемуся с неподвижным ограничителем (ударному осциллятору). Таким образом, хлопки могут быть «затянуты» по частоте и амплитуде, для них возможны классические нелинейные эффекты: явления срыва, жесткого запуска и др., проявляющиеся в простейшей виброударной системе [1,3].

При ε ≠0 в системе устанавливаются периодические стационарные режимы типа хлопков, которые при увеличении ε начинают распадаться, сохраняя характерные профили, содержащие отрезки прямых.

2. В качестве второго примера рассмотрим прямоугольную решетку, составленную из двух взаимно перпендикулярных семейств упругих одинаковых линейных струн, защемленных на концах и имеющих соответственно длины L₁ и L₂. Каждая струна нумеруется при помощи индексов k = 0,1,2,., N₁ и q = 0,1,2.. N₂. В вершинах решетки помещены точечные абсолютно твердые тела с одинаковыми массами m. Динамика решетчатой конструкции описывается посредством N функций прогибов u_kq(t), где индексы k=1,2,.. N₁; q=1,2,.. N₂. Каждая из функций u_kq(t) изменяется вдоль некоторой оси, перпендикулярной плоскости статического равновесия решетки.

Параллельно плоскости статического равновесия решетки на расстояниях Δ_1kq>0 и Δ_2kq<0 от каждого из узлов установлены ограничители хода, с которыми точечные тела, находящиеся в узлах решетки могут совершать мгновенные соударения; удары предполагаются прямыми и центральными. В частности, некоторые узлы могут быть вообще не оснащены ограничителями.

Таким образом, если при t=t⁰ и (или) при t=t₀ для каких либо k и q происходит соударение с верхним или нижним ограничителями, то:

u_tkq(t₀-0)=R_kqu_tkq(t)(t⁰+0), u_kq(t⁰) =Δ_1kq>0; u_tkq(t₀-0)=-R_kqu_tkq(t)(t₀+0), u_kq(t)= Δ_2kq<0;

_1kq u_kq(t) _2kq; 0<kq ≤1.     (4)

Приведенные условия - суть условия ударов, которые ставятся к уравнениям движения решетки

mu_kqtt+c₁(2u_kq-u_(k-1,q)-u_(k+1,q))+c₂(2u_kq-u_(k,q-1)-u_(k,q+1))=g_kq(t, u_kq, u_tkq,).    (5)

Здесь соответственно обозначено: с_1,2 - коэффициенты упругости. Граничные условия защемления можно записать как u_kq=0, при k=0;N₁; q=0;N₂. Поэтому N= (N₁-1)(N₂-1). При необходимости сюда могут быть добавлены начальные условия. Функции g_kq(t, u_kq, u_tkq,...), описывают неконсервативные силы, многоточие обозначает неучитываемые переменные высшего порядка малости,  - малый параметр. Условия удара (4) могут быть внесены в (5) при помощи сингулярных обобщенных функций [1].

Данная задача изучалась аналитически при помощи методов частотно-временного анализа, численно, а также экспериментально при помощи специально разработанного стенда. Были выявлены многие динамические эффекты и выяснено, в частности, что в данной системе существуют двумерные синхронные периодические режимы - хлопки, поведение которых опять-таки подобно поведению ударного осциллятора (см. п.1). Вместе с тем были обнаружены также и режимы движения гораздо более сложной структуры. В частности стоячие волны и профилями, имеющими большое количество нетривиально расположенных изломов.

Отметим в заключении, что виброударные системы с распределенными ударными элементами и системы с большим число сосредоточенных ударных пар требуют достаточно громоздких формул и поэтому приведены здесь не могут. Наряду с указанными, были рассмотрены системы с точечными, многоточечными, тавровыми, и двутавровыми, а также выпуклыми и вогнутыми ограничителям, некоторые системы с неодномерными соударениями, например, цепочки шаров, расположенные в кольцевых зазорах и др.

Кроме того, изучению подлежали виброударные системы при отказе от любых типах гипотез, использующих мгновенность взаимодействия, а также составные соударяющиеся системы сложной структуры.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 10-08-00500-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Babitsky V.I., Krupenin V.L. Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. Springer 2001, 330 p.
2. Асташев В.К., Крупенин В.Л. Продольные колебания тонкого стержня, взаимодействующего с неподвижным ограничителем // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. №6. С. 41-48.
3. Крупенин В.Л. Крупенин В.Л. О развитии методов частотно-временного анализа для расчета составных систем с большим числом ударных пар // Проблемы машиностроения и надежности машин. - №6, 2008. - С. 40-51.

Библиографическая ссылка