, где 
Рассматривается процесс обучения в высшем учебном заведении ( университете). В качестве xi берём успеваемость в конце семестра, Δt - временной интервал длиной в один семестр, x0 - успеваемость по результатам Единого Государственного Экзамена, N - количество семестров обучения. Такую же статистическую модель можно построить для прогноза успеваемости в конце одного семестра по контрольным точкам учета успеваемости в течении одного семестра. Поскольку контрольных точек в одном семестре не больше трех, то прогноз на коротком интервале будет с большой погрешностью. Расчеты велись по статистическим данным успеваемости по математике на специальности «Прикладная математика» Пензенского государственного университета, где различные разделы математики преподаются в течении 10 семестров.
Обработка статистических методов основана на обработке статистической модели. В статистической модели акцент делается на шуме. Для выходных данных имеем характерное распределение и характерные временные корреляции. Задача обработки заключается в том, чтобы построить модель так, чтобы она преобразовывала шум во временной ряд. На этом пути построения модели можно либо потребовать совпадение нескольких точек распределения, либо использовать более сложные характеристики, такие, например, как плотность распределения. На первом этапе будем требовать совпадения нескольких точек распределения.
Нам известен временной ряд xi. В каждой точке можно создать «шум» - последовательность некоррелированных и одинаково распределенных случайных величин 
с нулевым средним. Предположим, что i-й элемент ряда xi можно представить как некоторую функцию, зависящую от m предшествующих элементов 
и случайных величин 
:
(1)
Для начала можно ограничиться линейными функциями F, моделям вида
(2)
Такая модель называется ARMA от слов авторегрессия (первая сумма) и скользящее среднее (вторая сумма). Коэффициенты ai, bj находятся методом наименьших квадратов. Этот вид моделей хорош для прогнозирования следующего значения по m предыдущим. Реальный расчет успеваемости по математике в каждом последующем семестре соответствовал построенной модели с малыми отклонениями и погрешность не выходила за пределы сотых частей процента. При изучении статистических моделей использовалась следующая литература [1, 2, 3].
Более точный прогноз успеваемости можно получить, если использовать среднее значение прогнозируемой величины:
Предполагается, что предшествующие значения известны точно. Шум является составной частью линейных моделей и линейные прогнозы можно делать на небольшое число шагов вперед.
Соотношение (2) - это дискретный аналог свертки двух сигналов: x(t) и ξ(t) с финитными функциями a(t) и b(t):
Интервал [0,T] понимается как интервал времени обучения одному разделу математики длиною в один семестр или, в более общем случае, весь период обучения математике в высшем образовательном учреждении.
Используя преобразование Фурье 
, получаем свертку:
В результате преобразования Фурье получаем выражение:
Разрешив это уравнение относительно X(ω), получим
(3)
Подбор функций a и b позволяет так преобразовать спектр шума θ (ω), чтобы он стал аналогичен спектру анализируемого сигнала.
Построенная линейная модель (2) удобна тем, что дает аналитические результаты и ее использование не требует много машинного времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.
- Катьян Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.
- Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Физматлит, 1991.
Библиографическая ссылка
Добрынина Н.Ф. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИИ // Международный журнал экспериментального образования. – 2010. – № 7. – С. 127-129;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=453 (дата обращения: 03.12.2024).