Рассмотрим применение нестандартных (аномальных) задач и методику их решения с использованием информационных технологий на уроках математики в школе. Использование информационных технологий позволяет «раскрыть» суть аномальной задачи, наглядно продемонстрировать недостаточность наших знаний или данных при ее решении. Из всего множества видов информационных средств наш выбор пал на свобоно распространяемый математический пакет GeoGebra.
Выделим основные их типы.
1. Неопределённые задачи – задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких – то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.
В этих задачах отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. При введении этих данных точный ответ может быть получен. Такие задачи направлены на выявление некоторых особенностей умственного восприятия школьниками математической задачи.
Примеры такого рода задач:
Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем товарных вагонов. Сколько в поезде цистерн, товарных вагонов и платформ? (Неизвестно общее число их.)
Сколько нужно взять кипящей воды и воды комнатной температуры, чтобы получить 10 л воды с температурой 58°? (Неизвестно, что понимать под комнатной температурой.)
Класс получил общие и простые тетради – всего 80 штук. Общая тетрадь стоит 8 коп., а простая 2 коп. Сколько тех и других тетрадей получил класс? (Нужно знать общую стоимость тетрадей.)
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см. дальше, чем от большей стороны. Найти длину сторон. (Необходимо знать еще одну величину, например, периметр прямоугольника.)
Рассмотрим методику работы с таким видом задач на примере последней задачи.
I. Осмысление условия.
В: О какой фигуре идет речь в задаче?
О: О прямоугольнике.
В: Что должно быть построено в прямоугольнике?
О: Диагонали.
В: Что нам известно о точке пересечения диагоналей?
О: Она отстоит от меньшей стороны на 6 см. дальше, чем от большей стороны.
Запишем условие:
Дано: ABCD прямоуг.
OK< ON на 6 см.
Найти: стороны прямоугольника.
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 4
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 4
II. Поиск пути решения.
В: Что нужно найти?
О: Стороны прямоугольника.
В: Что следует из того, что OK< ON на 6 см.?
О: ON – OK = 6.
В: Давайте ОК обозначим за х. Чему тогда равно ON?
О: х + 6.
В: Можем ли мы, используя наши обозначения, выразить сторону АВ?
О: Да, т.к. ОК это половина АВ, то АВ = 2х.
В: А чему будет равна сторона ВС?
О: ON половина ВС, значит ВС = 2(х+ 6).
В: Все ли данные задачи мы использовали?
О: Да.
В: Достаточно ли нам их чтобы составить уравнение?
О: Нет.
В: Какое данное можно добавить в условие задачи, чтобы она имела решение?
Один из вариантов, который может быть предложен учащимися.
О: Пусть будет известен периметр. Р = 44 см.
В: Тогда какое уравнение мы получим?
О: 4х + 4( х + 6) = 44.
II. Реализация плана решения.
Решаем задачу с помощью добавленного данного.
2. Задачи переопределённые – задачи с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируют путь решения.
Примеры такого рода задач (избыточные данные выделены курсивом):
1. В магазине развесили картофель в 24 пакета весом по 3 и 5 кг, причем число первых оказалось больше, чем вторых. Вес всех пятикилограммовых пакетов оказался равным весу всех трехкилограммовых пакетов. Сколько было тех и других?
2. На автостоянке находятся 40 машин–автомобили и мотороллеры. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?
3. У мальчика было несколько копеек. Когда ему дали еще 14 коп., то он на все деньги купил 4 карандаша, заплатив за каждый вдвое больше того, что он имел прежде. На свои прежние деньги он не мог купить и одного карандаша. Сколько денег было у мальчика до получения 14 коп.?
4. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О, ∠АВС = 50°, ∪АВ:∪СВ = 5:8. Найти ∠АОС.
Рассмотрим методику работы с задачей, содержащей лишнее данное, на примере последней задачи.
I. Осмысление условия.
В: Какая геометрическая фигура нам дана?
О: Окружность.
В: Что сказано о точках А, В, С?
О: Они принадлежат окружности.
В: Какие величины нам известны в задаче?
О: ∠АВС=50°, ∪АВ:∪СВ = 5:8.
Запишем условие задачи:
Дано: (О, г) А,В,С ∈ (О, г).
∠АВС= 50°, ∪АВ:∪СВ=5:8.
Найти: ∠АОС.
Сделаем динамическую иллюстрацию в программе GeoGebra (рис. 3).
II. Поиск пути решения.
В: Что нужно найти?
О: ∠АОС.
В: Каким углом является ∠АВС?
О: Вписанным углом.
В: Каким углом является ∠АОС?
О: Центральным углом.
В: Что общего у этих углов?
О: Они опираются на одну дугу.
В: Что можно сказать о ∪АС если ∠АВС=50°?
О: ∪АС будет в два раза больше чем ∠АВС.
В: Сможем ли мы найти ∠АОС зная длину дуги на которую он опирается?
О: Да, он равен длине этой дуги.
С помощью инструмента «Угол» мы можем выполнить построение данного угла (рис. 4).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
В: Все ли данные задачи мы использовали?
О: Нет, еще есть отношение ∪АВ:∪СВ = 5:8.
В: Получим ли мы ответ не используя это отношение?
О: Да.
В: Каким данным является ∪АВ:∪СВ = 5:8?
О: Лишним, в решении задачи мы его не используем.
Убедимся в этом реализуя наш план решения.
III. Реализация плана решения.
∠АВС – вписанный, опирается на ∪АС. Значит ∠АВС=½ ∪АС ⇒ ∪АС= 2∠АВС. ∪АС = 100°.
∠АОС – центральный, опирается на ∪АС. Значит ∠АОС= ∪АС ⇒ ⇒ ∠АОС = 100°.
Убедились, что отношение ∪АВ:∪СВ = 5:8 являлось избыточным данным в задаче.
3. Нереальные (или противоречивые) задачи обычно относят к отдельному типу, хотя, как отмечено выше, они являются составной частью переопределённых (иногда определённых) задач.
Примеры таких задач:
1. Периметр прямоугольного треугольника равен 3,72 м. Две его стороны по 1,24 м каждая. Найти третью сторону.
2. Чему равна площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным 5а см, и гипотенузой, равной 12а см.
3. Записать в общем виде (алгебраически) все числа, которые делятся на 5 и в остатке имеют 7.
4. Вписать в окружность трапецию, углы которой находятся в следующем отношении 3:2:4:3.
Рассмотрим методику работы с нереальными задачами на примере последней.
I. Осмысление условия.
В: Что нам дано?
О: Окружность и какая-то трапеция.
В: Что нам известно о этой трапеции?
О: Ее углы находятся в соотношении 3:2:4:3.
В: Можем ли мы сделать какие-нибудь выводы из соотношения углов трапеции?
О: Да.
В: Что можно сказать о трапеции?
О: Она равнобедренная.
В: Что является решением задачи?
О: Вписанная в окружность трапеция.
Запишем условие:
Дано: (О,г), ABCD – трапеция,
3:2:4:3 – отношение углов трапеции. Вписать трапецию в окружность.
II. Поиск пути решения.
В: Что можем найти?
О: Углы трапеции.
В: Откуда мы их найдем?
О: Из соотношения 3:2:4:3.
В: Что удобнее обозначить за х?
О: один из углов, т.к. она равнобедренная, то лучше два равных угла обозначить за х?
В: Чему равны другие углы?
О: х, 2/3х, 4/3х, х.
В: Какое уравнение можно составить?
О: Зная сумму углов четырехугольника будет: х + 2/3х + 4/3х + х = 360º
II. Реализация плана решения.
Составим уравнение:
х + 2/3х + 4/3х + х = 360º
Находим х= 90º, ∠1=∠4=90º
∠2= 60º, ∠3= 120º
Построим эту трапецию.
В: Попробуйте вписать ее в окружность?
О: Не получается.
В: Любую ли трапецию можно вписать в окружность?
О: Нет.
В: Какому условию должна удовлетворять трапеция, чтобы ее можно было вписать в окружность?
О: Сумма пар противоположных углов равна 180º.
В: Выполняется ли это условие в нашей задаче?
О: Нет, 90º + 120º≠ 180° и 60°+ 90°≠180°.
В: Можем ли мы решить эту задачу?
О: Нет.
В: В чем заключается противоречие условия?
О: Отношение углов не соответствует требованию задачи.
Мы показали работу с некоторыми видами нестандартных задача с использованием информационных технологий.
Библиографическая ссылка
Акимова И.В., Титова Е.И. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4-2. – С. 304-307;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7359 (дата обращения: 17.08.2024).