Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ)

Золотаревская Д.И. 1
1 Российский государственный аграрный университет – МСХА им. К.А. Тимирязева

Настоящее учебное пособие включает в себя все вопросы, входящие в учебные программы тех специальностей вузов, в которых «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» изучается как самостоятельная дисциплина (для специальностей: прикладная математика, прикладная информатика, информационные технологии и др.).

Линейная алгебра и аналитическая геометрия – математические дисциплины, тесно связанные друг с другом. В книге содержатся весьма важные темы линейной алгебры: матрицы, определители, системы линейных уравнений, n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства, линейные пространства, евклидово пространство, функции на линейном пространстве (линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные формы) и главные темы аналитической геометрии.

В учебном пособии рассмотрены основные геометрические объекты: точки, линии, векторы, плоские фигуры, поверхности, тела (цилиндры, конусы и др.), незамкнутые области на плоскости и в пространстве. Свойства этих объектов и их положение в пространстве исследуются средствами алгебры на основе применения метода координат. Приведены и обоснованы математические модели линий на плоскости и в пространстве, поверхностей и других геометрических объектов: алгебраические уравнения и системы уравнений, неравенства и их системы.

Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается подробными решениями разнообразных примеров различной трудности. Объяснения даны в доступной для студентов форме. Подробно разобранные решения примеров помогут студентам лучше усвоить линейную алгебру и аналитическую геометрию и приобрести навыки самостоятельного изучения предмета. Рисунки, данные в книге, помогут более глубоко понять учебный материал и решения приведенных примеров.

В учебном пособии сформулированы алгоритмы нахождения ранга матрицы, обратной матрицы, решений систем m линейных уравнений с n неизвестными (при m > n, m < n, m = n), вычисления определителей различных порядков методом последовательных исключений с применением «правила прямоугольников». Применение этих алгоритмов при изучении курса линейной алгебры предложено и широко используется в учебном процессе автором; оно значительно упрощает расчеты, выполняемые вручную.

В отличие от ряда других учебников и учебных пособий по линейной алгебре и аналитической геометрии в данном учебном пособии показано не только геометрическое значение уравнений и систем уравнений, но также неравенств и систем неравенств с двумя и тремя переменными. Это позволило расширить круг освещаемых в пособии вопросов.

В представленном учебном пособии, в отличие от ряда других пособий, для каждой доказываемой теоремы приводится не только ее формулировка, но отдельно выделено: «Дано», «Требуется доказать», а затем приводится подробное «Доказательство». Приведены формулировки и доказательства прямых и обратных теорем. Такое изложение материала должно способствовать лучшему пониманию предмета студентами.

В книге большое внимание уделено обоснованию взаимно однозначных соответствий между геометрическими объектами и их аналитическими описаниями. Рассмотренные соответствия позволяют исследовать эти объекты средствами алгебры. Отметим некоторые приведенные в пособии результаты. Показано, что имеется взаимно однозначное соответствие между: множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел; геометрическими объектами – векторами в пространстве и упорядоченными тройками чисел в фиксированном базисе; геометрическим объектом – линией на плоскости и уравнением F(x; y) = 0 с двумя переменными x и y, где x и y – прямоугольные декартовы координаты точек линии. Имеется взаимно однозначное соответствие между: геометрическим объектом – прямой линией на плоскости и линейным уравнением

Ax + By + C = 0,

где x и y – прямоугольные декартовы координаты точек прямой; геометрическим объектом – полуплоскостью, лежащей по одну сторону от прямой Ax + By + C = 0, и линейным неравенством с двумя переменными Ax + By + C ≥ 0, где x и y – прямоугольные декартовы координаты удовлетворяющих этому неравенству точек этой полуплоскости и точек граничной прямой Ax + By + C = 0; геометрическим объектом – плоской фигурой, ограниченной одной замкнутой линией, и неравенством F(x; y) ≤ 0 с двумя переменными x и y, где x и y – прямоугольные декартовы координаты точек этой фигуры и ее границы; геометрическим объектом – плоской фигурой, ограниченной несколькими прямыми, и системой линейных неравенств с двумя переменными x и y, где x и y – прямоугольные декартовы координаты точек фигуры и ее границы; геометрическим объектом – поверхностью и уравнением F(x; y; z) = 0 с тремя переменными, x, y и z, где x, y и z – прямоугольные декартовы координаты точек поверхности. Таким образом, в пособии исследованы взаимосвязи между различными геометрическими объектами и их аналитическими представлениями.

В книге отмечено, что применение методов аналитической геометрии и линейной алгебры дает возможность решить ряд практически важных задач. Линейная алгебра широко применяется в экономике, в физике (например, в квантовой механике). Эта дисциплина является теоретической основой линейного программирования – одного из разделов математического программирования, который позволил получить решения многих экономических задач.

Представленное учебное пособие показывает, что значение линейной алгебры и аналитической геометрии этим не ограничивается. Линейная алгебра и аналитическая геометрия играют важную роль в формировании строго математического логического мышления. Аналитическая геометрия прививает навыки наглядного представления результатов исследований в различных областях знаний с помощью геометрических образов. Она является одной из основополагающих наук в познании Вселенной: многие математические и физические понятия тесно связаны с геометрией и могут быть представлены визуально только в таких простых пространствах, как плоскости и наше обычное трехмерное пространство. Понятия n-мерных векторов и n-мерных векторных пространств, рассматриваемые в линейной алгебре, являются обобщениями понятий аналитического представления обычных геометрических векторов и трехмерного пространства.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия – увлекательные математические дисциплины, которые расширяют кругозор, формируют мировоззрение, позволяют понять многообразие и единство окружающего нас мира, оценить его красоту.

Предназначено для студентов вузов, в учебные программы которых входят математические дисциплины. Данное учебное пособие могут использовать студенты, изучающие линейную алгебру и аналитическую геометрию при различном количестве учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике, в частности, при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии в курсах высшей математики. Рассмотренный в пособии материал, не входящий в учебные программы студентов, обучающихся по специальностям с небольшим числом учебных часов по математике, может быть опущен студентами без ущерба для понимания других включенных в это учебное пособие вопросов. Книга может быть полезна преподавателям вузов.


Библиографическая ссылка

Золотаревская Д.И. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ) // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 5-2. – С. 239-241;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7605 (дата обращения: 29.11.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074