Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,484

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ ПЛОСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ С ПОЛОСТЬЮ (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ВОСЬМИ)

Мусаев В.К. 1
1 Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II
Приводится некоторая информация моделирования безопасности упругой полуплоскости при нестационарном волновом сейсмическом воздействии с помощью метода конечных элементов. Рассматривается волновая теория сейсмической безопасности. Применяется техническое средство в виде вертикальных полостей для увеличения безопасности объекта. Для решения поставленной задачи применяется волновое уравнение механики деформируемого твердого тела. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Получена явная двухслойная схема. Рассмотрена постановка задачи с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми) в полуплоскости при воздействии в виде функции Хевисайда. Решается система уравнений из 59048 неизвестных. В четырех точках приводится изменение контурного напряжения.
моделирование
математическое моделирование
численный метод
алгоритм Мусаева В.К.
комплекс программ
метод
нестационарные упругие волны
динамика сплошных сред
волновая теория сейсмической безопасности
сейсмика
сейсмическая стойкость
сейсмическое воздействие
фундаментальное воздействие
метод Галеркина
распространение волн
вертикальные прямоугольные полости
полуплоскость
неотражающие граничные условия
исследуемая расчетная область
функция Хевисайда
1. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.
2. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93–97.
3. Мусаев В.К. Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4 (часть 2). – С. 326–330.
4. Мусаев В.К. Исследования устойчивости явной двухслойной линейной конечноэлементной схемы для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 5. – С. 39–42.
5. Мусаев В.К. Численное моделирование плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – четверть круга, средняя – горизонтальная, нисходящая – линейная) в упругой полуплоскости // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 222–226.
6. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных стоячих упругих волн в бесконечной полосе при воздействии в виде треугольного импульса // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 248–251.
7. Мусаев В.К. Определение упругих напряжений в плотине Койна с основанием с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 12 (часть 3). – С. 235–240.
8. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных процессов в геообъектах с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 12. – С. 347–352.
9. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в Курпсайской плотине с основанием (полуплоскость) с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 47–50.
10. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих динамических напряжений в полуплоскости без полости и с полостью с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–2. – С. 227–231.

В работе рассматривается техническое средство в виде вертикальной полости для управления сейсмическим напряженным состоянием исследуемого объекта. Волны, распространяясь, встречаются с полостью. Огибая полость волны, теряют часть энергии направленной на предполагаемый объект и тем самым уменьшают свое влияние рассматриваемый объект.

Постановка задачи при нестационарных сейсмических воздействиях

Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. При интерференции волн напряжений их интенсивности складываются. Они могут достигать значений, превосходящих предел прочности материала. В этом случае наступает разрушение материала. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении.

Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени mu1.wmf сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

mu2.wmf, mu3.wmf,

mu4.wmf,

mu5.wmf,

mu6.wmf,

mu7.wmf,

mu8.wmf, mu9.wmf,

mu10.wmf, mu11.wmf, (1)

где mu12.wmf, mu13.wmf и mu14.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; mu15.wmf, mu16.wmf и mu17.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; mu18.wmf – плотность материала; mu19.wmf – скорость продольной упругой волны; mu20.wmf – скорость поперечной упругой волны; mu21.wmf – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; mu22.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mu23.wmf, mu24.wmf,

mu25.wmf, (2)

где mu26.wmf – диагональная матрица инерции; mu27.wmf – матрица жесткости; mu28.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mu29.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mu30.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mu31.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

mu32.wmf, mu33.wmf. (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mu34.wmf,

mu35.wmf. (4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате mu36.wmf и по пространственным координатам, а именно

mu37.wmf mu38.wmf, (5)

где mu39.wmf – длина стороны конечного элемента.

В работах [1–10] приведена некоторая информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

В работах [2–6] приведена информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

О моделировании сейсмической волны в упругой полуплоскости с полостью

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения:

1 кгс/см2 * 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 * 109 кг/м3.

Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны параллельной свободной поверхности упругой полуплоскости с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми) (рис. 1). От точки F параллельно свободной поверхности ABEFG приложено нормальное напряжение mu40.wmf, которое при mu41.wmf (mu42.wmf) изменяется линейно от 0 до P, а при mu43.wmf равно P (mu44.wmf, mu45.wmf МПа (1 кгс/см2)). Граничные условия для контура GHIA при mu46.wmf mu47.wmf. Отраженные волны от контура GHIA не доходят до исследуемых точек при mu49.wmf. Контур ABCDEFG свободен от нагрузок, кроме точки F. Расчеты проведены при следующих исходных данных: mu50.wmf; mu51.wmf с; E=3,15•104 МПа (3,15•105 кгс/см2); mu52.wmf; mu53.wmf кг/м3 (0,255•10-5 кгс•с2 /см4); Cp= 3587 м/с; Cs=2269 м/с. Решается система уравнений из 59048 неизвестных.

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны на упругую полуплоскость с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми)

mus2.tif

Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения mu55.wmf во времени mu56.wmf в точке A1: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми)

mus3.tif

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения mu57.wmf во времени mu58.wmf в точке A2: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми)

mus4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения mu59.wmf во времени mu60.wmf в точке A3: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми)

mus5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения mu62.wmf во времени mu63.wmf в точке A4: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми)

Результаты расчетов для контурного напряжения mu64.wmf (mu65.wmf) во времени n получены в точках A1–A4 (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.

На рис. 2–5 приведены контурные напряжения mu66.wmf в точках A1–A4 во времени n.

Выводы

Для прогноза безопасности технических объектов при сейсмических воздействиях применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при сейсмических воздействиях на сооружения. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.

Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных для решения задач при сейсмических воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.

Решена задача о воздействии плоской продольной сейсмической волны на упругую полуплоскость с полостью (соотношение ширины к высоте один к восьми). Исследуемая расчетная область имеет 14762 узловых точек и 14512 конечных элементов. Решается система уравнений из 59048 неизвестных. Рассматриваются точки на свободной поверхности упругой полуплоскости.

Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи, о применении полостей для увеличения безопасности по несущей способности технических объектов экономики при сейсмических воздействиях, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗДЕЙСТВИИ ПЛОСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ С ПОЛОСТЬЮ (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ВОСЬМИ) // Международный журнал экспериментального образования. – 2016. – № 11-2. – С. 197-201;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=10857 (дата обращения: 07.12.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074