(1)
где λ - спектральный параметр, функция ρ(х) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом.
Для изучения асимптотики собственных значений и собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием 3√1 = +1. Пусть ωк - корни третьей степени из единицы, то есть
Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: Будем предполагать, что ρ(x) € C3 [0;π]. Потенциал q(x) - суммируемая функция:
почти всюду на отрезке 0;п ] .(2)
Для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) при выполнении условия гладкости (2) сначала рассмотрим вспомогательное уравнение
(3)
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (3) имеет следующий вид:
(4)
где Ck (k = 1, 2, 3) - произвольные постоянные, yk (x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (3), причём при |s|→+∞ справедливы следующие асимптотические разложения
Идею разложения вида (5) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [1].
В формуле (5) введено следующее обозначение
Продифференцируем асимптотические разложения вида (5) почленно три раза, для этого достаточно выполнения условия гладкости р(х) € C3 [0; п], и подставим получившиеся формулы в дифференциальное уравнение (3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна). При этом найдём в явном виде коэффициенты А1k3(х), A2k3(x), .... Это не было сделано ни в монографии [1], ни в других работах
Впервые это было сделано автором (для аналогичного уравнения второго порядка) в §3 главы монографии [2]. Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач при условии выполнения (2). Для случая n = 2, p(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в работе [3]. Для дифференциального оператора второго порядка с непостоянной весовой функцией это было проделано автором в работе [4]. Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения
Тогда справедливы следующие формулы:
Аналогичные формулы справедливы также для функций yk/[(x,s) и yk//(x,s), k = 1, 2, 3. В результате получаем
Теорема 2. Определитель Вронского
линейно независимых решений y1 (x, s), y2 (x, s), y3 (x, s) дифференциального уравнения (3) не зависит от переменной x и имеет следующую асимптотику:
Доказательство теоремы 2 можно осуществить двумя способами. Первый заключается в подстановке асимптотик (8)-(11) в формулу (12) и разложении определителя по столбцам. При этом можно показать, что
При этом получаем
Перейдём к нахождению асимптотики решений дифференциального уравнения (1). Общее решение дифференциального уравнения (1) будем искать методом вариации постоянных в следующем виде:
где y1 (x, s), y2 (x, s), y3 (x, s) - линейно независимые решения вспомогательного дифференциального уравнения (3), C1 (x, s), C2 (x, s), C3 (x, s) - неизвестные функции, которые можно найти из следующей системы уравнений:
Решая систему (20), приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Решение y (x, s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
где yk (x, s) (k = 1, 2, 3) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (3), асимптотика которых определена формулами (4)-(11), W0 (s) - определитель Вронского этих решений (см. (12), (13)).
Далее применим метод последовательных приближений Пикара: найдём y (t, s) из (21) и снова подставим его в уравнение (21).
Теорема 4. Общее решение уравнения (1) имеет следующий вид:
где Ck (x, s) (k = 1, 2, 3) - произвольные постоянные, gk (x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при |s|→+∞ справедливы следующие асимптотические разложения:
Список литературы:
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352с.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
- Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. -2000. - Т. 64, № 4. - С. 47-108.
- Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - 2008. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ 07.07.2008, №581-В2008.
Работа представлена на Общероссийскую научную конференцию «Проблемы качества образования», Иркутск (5-7 июля 2010). Поступила в редакцию 15.06.2010 г.
Библиографическая ссылка
Митрохин С.И. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ГЛАДКОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ // Международный журнал экспериментального образования. – 2010. – № 9. – С. 142-145;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=1086 (дата обращения: 17.08.2024).