Введение
В условиях быстрого развития технологий повышаются требования к подготовке будущих инженеров, вводятся новые образовательные стандарты. Значительно возросла потребность в эффективных цифровых инструментах, используемых при обучении математике, которые способствуют не только усвоению теоретических знаний, но и развитию практических навыков решения задач [1-3]. Внедрение цифровых образовательных платформ позволяет изменять методы, средства, формы обучения и контроля знаний [4-6]. Много внимания уделяется проблеме автоматической генерации тестовых заданий и диагностике знаний учащихся [7-9].
Информационно-образовательная среда (ИОС) NOMOTEX создана в МГТУ имени Н. Э. Баумана, представляет собой комплексное решение для преподавания математических дисциплин инженерного профиля [10], в особенности базовых университетских курсов по высшей математике, таких как аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, интегральное исчисление, теория вероятностей, математическая статистика. Платформа NOMOTEX позволяет не только структурировать и визуализировать учебные материалы, но и эффективно проводить занятия в цифровом формате, включая лекции, семинары и самостоятельные работы. Важной особенностью платформы является поддержка интерактивной визуализации математических понятий и их инженерного применения, что делает процесс обучения более наглядным и практичным [11].
Преимущества платформы NOMOTEX заключаются в ее интерактивности, адаптивности и модульности. Студенты могут работать с заданиями онлайн, проверять свои решения в реальном времени и получать обратную связь [12; 13].
Исследование сходимости несобственных интегралов первого рода имеет большое значение для инженеров, поскольку такие интегралы часто встречаются в задачах, связанных с расчетами на очень больших временных или пространственных интервалах. Например, при анализе распространения волн, тепла или других процессов на значительные расстояния необходимо понимать поведение этих процессов при увеличении интервала расчета. Понимание сходимости интегралов позволяет инженерам гарантировать корректность расчетов и точность результатов даже при моделировании крупных систем или продолжительных процессов, что критично для точного проектирования и надежности инженерных решений.
Решение задачи на исследование сходимости интегралов в рамках университетского курса по интегральному исчислению важно по нескольким причинам. Во-первых, оно развивает фундаментальные навыки анализа поведения функций на неограниченных интервалах, что является важной частью математического образования. Во-вторых, такие навыки необходимы для понимания более сложных инженерных задач, где результаты интегрирования играют ключевую роль в расчетах физических процессов. Наконец, эти задачи учат студентов применять строгие математические методы для проверки корректности решений, что закладывает основу для будущих практических приложений в реальных инженерных проектах.
Цель исследования – представить опыт использования платформы NOMOTEX для автоматизированной поэтапной проверки решений задач по интегральному исчислению, а именно исследования сходимости несобственных интегралов первого рода от знакопостоянной функции.
Материалы и методы исследования
Анализ учебно-методической литературы по теме «Сходимость несобственных интегралов»; изучение и обобщение опыта работы преподавателей кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н. Э. Баумана по данной теме; программирование заданий, генерация вариантов, размещение контента в ИОС; педагогический эксперимент (2019-2024 гг.) с участием студентов 174 групп (более 3000 человек) на четырех факультетах.
Результаты исследования и их обсуждение
Схема исследования на сходимость несобственного интеграла 1 рода от знакопостоянной функции выглядит следующим образом [14; 15]:
Убедиться, что подынтегральная функция сохраняет свой знак на всём промежутке интегрирования.
Найти эталонную функцию для сравнения – степенную функцию, которая является бесконечно малой при x → +∞, эквивалентную подынтегральной функции.
Выбрать для исследования один из двух признаков: признак сравнения либо его предельную форму.
Сделать вывод о сходимости или расходимости несобственного интеграла.
Рассмотрим пример задания на исследование сходимости несобственного интеграла первого рода, предлагаемый студентам первого курса в рамках модуля «Интегральное исчисление».
Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Заметим, что подынтегральная функция является (положительной) и не имеет особенностей на всем промежутке интегрирования, поэтому исследуем её поведение только при x → +∞.
Поскольку sin t ~ t при t → 0, то при x → +∞
,
при x → +∞. x + 3 ~ x, x2 + 5 ~ x2; тогда
при x → +∞.
Тогда исходный интеграл расходится по предельному признаку сравнения с «эталонным» интегралом
с 
. Таким образом, 
расходится.
Изначальный вариант автоматической проверки задачи. В первоначальном варианте автоматической проверки предполагалась дополнительная проверка решения преподавателем, что упрощало процесс автоматизации. Студент вводил ответ «сходится» или «расходится», и далее преподаватель вручную проверял решение и корректировал баллы при необходимости (рис. 1, 2).
Рис. 1. Ввод ответа студентом при выполнении контрольного мероприятия
Рис. 2. Отображение ответа студента в личном кабинете, вид с аккаунта преподавателя
Рис. 3. Ввод ответа студентом по новой форме: проверяются шаги решения, а не только ответ
В этом случае, при отсутствии дополнительной корректировки баллов преподавателем, студент имел возможность получить либо минимальный, либо максимальный балл за задачу.
Усовершенствованный вариант автоматической проверки задачи. В усовершенствованном варианте студенту предлагается ввести решение по частям с дополнительной аналитической проверкой каждого этапа.
В процессе решения задачи в ИОС NOMOTEX студент должен произвести следующие действия:
Указать точку, в которой интеграл имеет особенность. Для несобственного интеграла 1 рода это x0 = +∞ или x0 = –∞.
Проверить, что подынтегральная функция является знакопостоянной на всём промежутке интегрирования. Необходимо выбрать один из ответов – да/нет.
Указать вид эталонной функции для сравнения. Выбрать один из ответов:
.
Указать степень α эталонной степенной функции. Выбрать один из двух признаков сравнения, соответственно выбрать нужный знак <,>,~ для сравнения подынтегральной и эталонных функций. Выбрать один их двух ответов – интеграл сходится/расходится.
Заметим, что в том случае, если для исследования подходят оба признака, система позволяет использовать любой из них. Автоматическая проверка решения проводится поэтапно.
За каждую часть задачи студент может получить соответствующий балл (рис. 3, 4).
В примере студент пришел к корректному выводу, но допустил ошибки в процессе решения, что привело к снижению баллов. При вводе ответа в формате «сходится» или «расходится» студент набрал бы максимальный балл по задаче, даже допустив ошибки в решении.
Сравнение успеваемости при различном способе проверки решения. Изначальный вариант решения с минималистичным вводом был внедрен в 2019 году, а в 2020 году была реализована подробная проверка по шагам.
Рис. 4. Частично верное решение примера студентом
Рис. 5. Диаграмма сравнения баллов по задаче по годам и двум факультетам на временном промежутке в 6 лет
За это время автоматизированной проверкой воспользовались студенты 174 учебных групп на четырех факультетах.
Ниже приведена статистика решения задачи исследования сходимости несобственного интеграла первого рода в экзаменационных билетах в зависимости от факультета, года и формы ввода решения задачи, а также сумма баллов студента за экзамен целиком (рис. 5).
На диаграмме представлены два показателя по годам для каждого факультета: средний нормализованный балл за задачу (синие столбцы, левая ось Y) и средний процент, который задача внесла в общий балл экзамена (линии с маркерами, правая ось Y). Ось X отображает годы, столбцы сгруппированы по факультетам для каждого года, что позволяет напрямую сравнивать результаты между факультетами и временными периодами. График демонстрирует постепенное повышение как среднего нормализованного балла, так и среднего процента вклада задачи в экзамен с течением времени, причём эта тенденция заметна на всех факультетах.
Данные графика показывают положительную динамику в успеваемости студентов по данной задаче и в росте её значимости в структуре экзамена. Повышение среднего нормализованного балла свидетельствует о том, что студенты стали лучше справляться с задачей, возможно, благодаря внедрению новых методов обучения и поэтапной проверки. Увеличение вклада задачи в общий балл экзамена подчёркивает её важность и может стимулировать студентов уделять ей больше внимания. Общая тенденция улучшения по всем факультетам и годам свидетельствует об эффективности принятых образовательных стратегий и поддерживает их дальнейшее применение для повышения качества обучения.
Заключение
В рамках развития информационной образовательной среды NOMOTEX был спроектирован, программно реализован и успешно интегрирован в учебный процесс алгоритм автоматизированной проверки решений задач на исследование сходимости несобственных интегралов первого рода. Данная разработка призвана автоматизировать проверку сложных логических цепочек, которые традиционно вызывают затруднения при изучении данной темы.
Поэтапная проверка задач полезна для студентов, потому что она способствует глубокому пониманию материала и развитию аналитического мышления, позволяя обучающимся осознанно проходить через каждый шаг решения. Это усиливает мотивацию, признавая их усилия на каждом этапе, и обеспечивает справедливое и точное оценивание знаний. Кроме того, такой подход предоставляет индивидуальную обратную связь, поощряет самостоятельное обучение и готовит студентов к профессиональной деятельности, где важен не только результат, но и процесс его достижения.
Ключевые преимущества для обучающихся:
- интерактивная поэтапная верификация - алгоритм осуществляет проверку не только финального ответа, но и промежуточных выкладок. Это позволяет студентам глубже погрузиться в методологию исследования, осознать структуру доказательства и избежать типичных ошибок при выборе эталонных функций или проверке условий применимости признаков сравнения;
- мгновенная обратная связь - индивидуальные комментарии системы позволяют обучающимся оперативно проводить работу над ошибками, что способствует формированию устойчивого аналитического мышления и навыков самоконтроля.
Преимущества для преподавателей: внедрение системы предоставило преподавателям инструмент мониторинга образовательных достижений в режиме реального времени. Автоматизация рутинной проверки типовых задач позволила педагогам сосредоточиться на реализации индивидуального подхода, разборе нестандартных задач и консультировании студентов, испытывающих наибольшие трудности.
В перспективе планируется расширение функционала NOMOTEX для поддержки других разделов математических дисциплин и интеграция адаптивных технологий обучения, что будет способствовать дальнейшему повышению качества инженерного образования.
Конфликт интересов
Финансирование
Библиографическая ссылка
Анисова Т.Л., Димитриенко Ю.И., Пичугина А.Е. Развитие методики проверки решения задачи на сходимость несобственного интеграла первого рода в информационной образовательной среде NOMOTEX: анализ результатов и улучшений // Международный журнал экспериментального образования. 2026. № 1. С. 23-29;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=12236 (дата обращения: 11.08.2026).
DOI: https://doi.org/10.17513/mjeo.12236