Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования

ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,757

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Тактаров Н.Г. Миронова С.М.
Построена и исследована математическая модель распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористой среды.
электрический заряд
электропроводный
пористый
слой
поверхностные волны
surface waves
layer
porous
electroconductive
electrical charge
Предполагается, что толщины слоев пористой среды проводящей жидкости равны h1 и h2 соответственно. Пористая среда ограничена снизу сплошным твердым электропроводным основанием (дном). Как известно [1], в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются только на их поверхности, а внутри проводника напряженность электрического поля E‾=0. Таким образом, напряженность электрического поля будет отличаться от нуля лишь в атмосфере, находящейся над слоем жидкости. На поверхности проводника выполняется соотношение , где , n‾  - единичная внешняя (т. е. направленная из жидкости в атмосферу) нормаль к поверхности жидкости, σ - плотность поверхностного заряда, приходящаяся на единицу площади. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2, 3 соответственно. Ось Oz декартовой системы координат Oxyz направлена вертикально вверх против вектора g‾ ускорения свободного падения, а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды.

Уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии E¯=0 имеют вид [2]

, .    (1)


Здесь ρ - плотность жидкости, Г - пористость среды, p1 - давление, u‾1 - макроскопическая скорость фильтрации, η - вязкость, K - коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [2].

Уравнения движения свободной жидкости при E‾=0 запишем в линейном приближении:

, ,   (2)

где u‾2 - скорость жидкости.

Уравнения для электрического поля в атмосфере

,  ( , ).   (3)

Здесь ε - диэлектрическая проницаемость.

Из уравнений (2), (3) следует: ,  , где φ и ψ потенциал скорости и электрического поля, удовлетворяющие уравнениям Лапласа

, .   (4)

Система граничных условий на границах раздела:

1)  при  (на дне),

2)  при  (на границе пористой среды),

3)  при , на свободной поверхности жидкости с уравнением ,

4)

5)  или ,

6) , .

Здесь  - нормальная скорость свободной жидкости, R1, R2 - радиусы кривизны поверхности, pатм - постоянное давление в атмосфере, pij - максвелловский тензор механических напряжений в области 3, α - коэффициент поверхностного натяжения. Величина σ находится из условия . В линейном приближении , , ,  - базисные векторы системы координат Oxyz.

Переменные величины записываем в виде:

, , , ,               (6)

 ( ), .

Здесь индексом «0» отмечены невозмущенные величины, а индексом «w» - возмущения соответствующих величин, связанные с волновым движением.

В равенствах (6):

, , , .              (7)

Выбирая , условие 5) в системе (5), можно записать в виде: . Из условия 6) системы (5) следует при :

.         (8)

Здесь . При выводе (8) учитывается, что

,

и

в линейном приближении.

В результате упрощения система (5) вместе с условием на бесконечности принимает вид:

1) u1z = 0 (z = -h1 ),              2) u1z=u2z (z=0 ),  3) p1w=p2w  (z=0 ),

4)  ( ), 5)  ( ),                      (9)

6)  ( ),     7)  ( ).

 

Здесь  в условии 6). Все малые величины второго и более высоких порядков отбрасываются.

Из уравнений (1) следует

.   (10)

В связи с тем, что при отсутствии волн: , , уравнения для возмущений принимают вид

1) , 2) .                             (11)

Из уравнения (2) системы (11) с учетом divu‾2=0 следует

,      (12)

а из уравнения 1) системы (11) с учетом divu‾1 = 0 находим

.      (13)

С учетом (12) и (13) граничное условие 3) в системе (9) принимает вид

)  (при z=0).

С учетом (4) и (10) окончательно система трех уравнений для нахождения φ, ψw, u1z принимает вид:

1) , 2) , 3) .                       (14)

А граничные условия (9) с учетом  окончательно запишется в виде:

1) u1z =0 (z=-h1 ),  2)  ( z=0),

3)  (z=0 ),      4)  (z=h2 ),

5)  (z=h2 ),                                     (15)

6)  (z=h2 ),

7) ψw = 0 ( z→+∞).

Решение уравнений (14) с граничными условиями (15) ищем в виде затухающих волн:

,

,       (16)

.

 

Здесь , β - декремент затухания, ω - частота.

Подставляя функции (16) в уравнения (14), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд , , :

 

1) , 2) , 3) .         (17)

 

Здесь .

Граничные условия для амплитуд получаются из (15):

 

1) U=0 (z=-h1 ), 2)  (z=0 ), 3)  (z=0 ),

4)  (уравнение для нахождения функции ),    (18)

5)  (z=h2 ),  (z=h2 ),

7) ψw = 0 ( z→+∞). 

 

Общее решение системы (18) имеет вид:

,

,      (19)

,


где Ci (i =1,...,6) - произвольные постоянные.

Подставляя формулы (19) в условия (18), получим однородную систему линейных относительно постоянных Ci алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение только при обращении в нуль определителя системы. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн:


,

где , , , ,  ( ).

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) , ;

2) , ;

3) h1 - произвольное, .

 

Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100°C с параметрами:   ,   ,   . Значения E брались в промежутке от 0до 50 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 В/см). Принимаем, что ε=1 в атмосфере.

Остановимся подробнее на первом случае. Здесь частота ω>0 уменьшается с увеличением длины волны λ и слабо зависит от толщины h1, но с ростом h2 значения ω увеличиваются (при λ = const); декремент β>0 также уменьшается с ростом λ, при этом с ростом h1 величина β увеличивается (при λ=const), а с ростом h2 - уменьшается (при λ=const).

С ростом E0 значения ω уменьшаются при заданных λ, h1 ,h2 . При этом изменение h1 практически не влияет на ω, при увеличении h2 значения ω увеличиваются (при заданных λ, h1).

С увеличением E0 значения β уменьшаются при заданных λ, h1, h2. При увеличении h1 значения β увеличиваются. При увеличении h2 значения β уменьшаются.

При увеличении Г значения ω монотонно увеличиваются до максимального значения ωmax = 1,24 (при Г→1), при этом с ростом h1, а также h2 величина ω возрастает; значения β вначале возрастают практически от нуля до максимального значения βmax = 0,2 (при Г=0,91), а затем монотонно убывают, стремясь к нулю (при заданных  h1=h2=25 см, k = 0,006 см-1  ), при этом с ростом hзначения β увеличиваются, а при росте h- уменьшаются.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. - 616 с.
  2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

Библиографическая ссылка

Тактаров Н.Г., Миронова С.М. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ // Международный журнал экспериментального образования. – 2010. – № 2. – С. 8-13;
URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=413 (дата обращения: 21.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074