Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Анисимова Н.Т. 1 Ивашов Е.Н. 1 Князева М.П. 1 Костомаров П.С. 1
1 ФГАОУ ВПО «Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»»
Рассмотрена проблема малых выборок, т.е. отсутствия необходимого количества эмпирических данных для принятия рационального конструктивно-технологического решения, при автоматизированном проектировании элементов, узлов и устройств технических объектов. Предложен рандомизированный подход определения коэффициентов размытости непараметрических решающих правил. Рассмотрено применение метода Лапласа в асимптотической оценке применяемых ядер в результате статистического моделирования.
автоматизированное проектирование; проблема малых выборок; непараметрические решающие правила; асимптотические методы.
1. Лапко А.В. Непараметрические системы обработки неоднородной информации / А.В. Лапко, В.А. Лапко. – Новосибирск: Наука, 2007. – 174 с.
2. Parzen E. On the estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. – 1962. – P. 1065.
3. Епаничников В.А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и ее применения. – 1969. – Т. 14, Вып. 1.
4. Балан Н.Н., Васин В.А., Ивашов Е.Н., Костомаров П.С., Степанчиков С.В. Моделирование процессов иммерсионной ультрафиолетовой литографии на этапе аванпроектирования // Нелинейный мир. – 2012. – Т. 10, № 7. – С. 454-459.
5. Оливер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции – М.: Наука, 1978. – 357 с.
6. Садыхов В.Э. Элементы асимптотических методов. – Баку: АЗПИ им. Ч. Ильдрыма, 1985. – 141 с.
7. Балан Н.Н., Васин В.А., Ивашов Е.Н., Костомаров П.С., Степанчиков С.В. Оптимизация процессов иммерсионной ультрафиолетовой литографии в условиях малых выборок. В кн.: Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. Материалы Международной научно-технической конференции «INTERMATIC – 2012», 3–7 декабря 2012 г., Москва / отв. ред.: А.С. Сигов. Ч. 3: Материалы и технологии. – М.: МГТУ МИРЭА – ИРЭ РАН, 2012. – С. 112-116.

При автоматизированном проектировании элементов, узлов и устройств технических объектов разработчики встречаются с проблемой малых выборок, т.е. отсутствия необходимого количества эмпирических данных для принятия рационального конструктивно-технологического решения [1].

Для «обхода» проблемы малых выборок при оценивании плотностей вероятностей p(x) увеличим объем исходных данных xi, i = missing image file, за счет результатов статического моделирования. С этой целью в β-окрестности каждой i-й точки выборки осуществим m имитаций с законом распределения p2(x). Полученная статическая выборка xi + xj2, j = missing image file, i = missing image file, при равновероятных значениях xi, i = missing image file,соответствует смеси плотностей вероятностей:

missing image file(1)

Нетрудно заметить, что непараметрическая оценка (1) имеет вид

missing image file(2)

Существующий парадокс традиционных методов идентификации стохастических моделей состоит в сопоставлении конечной случайной выборки наблюдений переменных изучаемых объектов с конкретным набором параметров модели, оптимальном в некотором смысле. Предлагается рандомизированный подход определения коэффициентов размытости непараметрических решающих правил на основе процедуры их случайного выбора, который рассматривается на примере оптимизации алгоритмов формирования литографических процессов.

Впервые методика случайного выбора коэффициентов размытости ядерных функций при синтезе непараметрической оценки плотности вероятности была предложена в 1975 г. Т. Вагнером [1]. Формирование случайной последовательности коэффициентов размытости при оценивании плотности вероятности p(x) осуществляется на основе выборки расстояний между исходными наблюдениями (xi, i = missing image file) и их k-ближайшими соседями.

Рассмотрим рандомизированный метод оптимизации. Пусть missing image file – выборка из n статистически независимых наблюдателей случайной величины missing image file с плотностью вероятности p(x), вид которой неизвестен. Будем считать, что p(x) ограничена и непрерывна со всеми своими производными до второго порядка включительно. В качестве приближения по эмпирическим данным V искомой плотности вероятности p(x) примем статистику типа Розенблатта – Парзена [2]

missing image file(3)

где missing image file – ядерные функции, удовлетворяющие условиям положительности, симметричности и нормированности; missing image file – последовательность положительных чисел (коэффициентов размытости) таких, что

missing image file (4)

Свойства непараметрической оценки плотности вероятности (3), такие как асимптотическая несмещенность, состоятельность, сходимость почти наверное к missing image file, подробно рассмотрены в работе [3].

Для сравнения традиционного и рандомизированного метода оптимизации непараметрической оценки плотности вероятности определим отношение missing image file соответствующих им асимптотических выражений среднеквадратических критериев при оптимальных параметрах с и h.

Из условия минимума missing image file и missing image file по с и h нетрудно получить

missing image file(5)

При оптимальных параметрах missing image file, missing image file отношение

missing image file(6)

меньше единицы при конкретных значениях параметра missing image file закона распределения missing image file коэффициентов размытия ядерных функций.

Однако использование непараметрической оценки со случайными значениями коэффициентов размытия ядерных функций

missing image file(7)

позволяет снизить смещение при оценивании плотности вероятностей по сравнению с традиционной статистикой типа (3).

Можно показать, что асимптотическое выражение смещения

missing image file missing image file(8)

а его отношение к соответствующему смещению missing image file для традиционной непараметрической оценки при оптимальных параметрах missing image file и missing image file

missing image file(9)

Если параметр t плотности вероятности missing image file больше или равен 2, то отношение (9) меньше единицы.

Анализ выражений (5), (8) показывает, что непараметрическая оценка плотности вероятности со случайными значениями коэффициентов размытости (7) обладает свойствами асимптотической несмещенности и состоятельности. Она характеризуется пониженным смещением (9) и несколько большим значением среднеквадратического отклонения (6) по сравнению с непараметрической статистикой (3). Следует ожидать проявления потенциальной эффективности непараметрической оценки плотности вероятности (7) при конечных объемах статистических данных.

Реализация «обхода» проблем малых выборок при оценивании плотностей вероятностей p(x) обеспечивается также не только увеличением объема исходных данных xi, i = missing image file, но и результатами технического моделирования, т.к. сложность и многообразие процессов функционирования проектируемых технических систем, таких как, к примеру, литографическое оборудование, не всегда позволяют получать для них адекватные математические модели, сформулированные в виде различных аналитических соотношений [4].

Рассмотрим применение метода Лапласа в асимптотической оценке применяемых ядер в результате статистического моделирования [5].

Методом Лапласа можно назвать ту совокупность приемов, способов оценок интегралов missing image file, когда с ростом параметра λ к положительной бесконечности (missing image file), график по t ядра missing image file приобретает все более ярко выраженный вид профиля горной страны. Чем больше missing image file, тем выше (относительно) становятся «пики», глубже и шире (относительно) долины, круче склоны пиков. Не исключается случай, когда с изменением missing image file положение «пиков» меняется. К обобщениям метода Лапласа можно отнести приемы оценки интегралов missing image file с описанным выше характером ядра missing image file. На рис. 1 представлено несколько примеров таких ядер [6].

missing image file

Рис. 1. Графическое отображение ядер

missing image file(10)

missing image file(11)

missing image file(12)

Здесь missing image file на missing image file. Введем масштаб 1:2, то есть положим missing image file. Графики missing image file имеют при missing image file, missing image file характер, изображенный на рис. 2.

missing image file

Рис. 2. Графическое отображение специальных ядер

Как уже неоднократно говорилось, содержание метода Лапласа богаче любого количества посвященных этому методу теорем. Можно представить себе ситуацию, когда с ростом missing image file.

Растет и количество сравниваемых по величине пиков; когда с ростом missing image file один или несколько пиков «наезжают» на особую точку функции missing image file, или вообще любую комбинацию «неприятностей» подобного рода – особенно, если рассматривается интеграл вида missing image file. Поэтому основная трудность здесь не в доказательстве теоремы, а, пожалуй, в отборе тех результатов, которые следует явно сформулировать [6].

Естественно рассмотреть вначале случай одного фиксированного пика фиксированной высоты. Полезно различать две возможности:

а) основание пика (то есть узел асимптотики) находится в крайней точке промежутка интегрирования;

б) узел асимптотики лежит внутри промежутка интегрирования.

Представляет интерес еще одно свойство интеграла Лапласа missing image file.

Пусть этот интеграл сходится при некотором значении missing image file. Тогда он сходится и при всех missing image file таких, что missing image file. Нижняя грань missing image file всех missing image file, при которых missing image file сходится, называется абсциссой сходимости missing image file (в отличие от степенных рядов, у интегралов missing image file абсциссы сходимости и абсолютной сходимости, в общем случае, различны). В дальнейшем предполагается, что у всех рассматриваемых интегралов Лапласа существует конечная абсцисса сходимости. Следующая вспомогательная лемма позволяет раз и навсегда ограничиться интегралами, распространенными на конечный отрезок.

Лемма. Пусть функция missing image file интегрируема на любом промежутке missing image file , missing image file, интеграл

missing image file

сходится при missing image file. и missing image file – произвольное положительное число [6].

Тогда для интеграла

missing image file

справедлива асимптотическая оценка missing image file, missing image file.

Доказательство. По условию интеграл

missing image file

сходится при missing image file. к некоторому конечному пределу. Также по условию функция missing image file (а с ней и missing image file), локально интегрируема, вследствие чего missing image file непрерывная функция при missing image file. Непрерывная на missing image file функция, имеющая при missing image file конечный предел, ограничена на missing image file: поэтому существует и конечное число

missing image file

Заметив это, проведем в интеграле missing image file при любом missing image file следующие преобразования:

missing image file missing image file

missing image file

missing image file missing image file

Теперь оценка по модулю дает (missing image file по определению, missing image file):

missing image file missing image file

что и требовалось доказать.

Таким образом, любой «хвост» missing image file интеграла Лапласа с конечной абсциссой сходимости всегда экспоненциально мал. Поэтому с точки зрения асимптотических оценок можно ограничиться любым конечным промежутком missing image file, missing image file. Кроме того, эта асимптотика определяется лишь поведением функции missing image file при missing image file.

Предложена математическая модель непараметрической оценки плотности вероятности в условиях малых выборок и метод Лапласа в асимптотической оценке применяемых ядер обеспечивают возможность технического моделирования, без использования реальных технологических процессов и дорогостоящего оборудования. Реализация «обхода» проблем малых выборок обеспечивает увеличение объема исходных данных и повышает эффективность технического моделирования [7].


Библиографическая ссылка

Анисимова Н.Т., Ивашов Е.Н., Князева М.П., Костомаров П.С. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 1-2. – С. 105-108;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=4566 (дата обращения: 30.11.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074