Изучено поведение семейства операторов , определяемых экспоненциальными методами суммирования
При некоторых условиях на функцию
установлена сходимость
(
) в каждой точке Лебега.
Пусть – класс 2 π-периодических суммируемых на
функций, С2π – класс 2 π-периодических непрерывных функций,
– класс функций, обладающих непрерывными на
вторыми производными. В настоящей работе рассматриваются экспоненциальные средние
(1.1)
рядов Фурье функций . В определении (1.1)
, (1.2)
– коэффициенты Фурье функции f, – произвольный фиксированный параметр, функция
принимает положительные значения,
Одна из основных задач, рассматриваемых в настоящей работе – изучение поведения семейства операторов при
. А именно, мы будем изучать сходимость (1.1) в точках Лебега, т.е. в точках х, обладающих свойством
.
Точки Лебега, как известно ([1], с. 111 ), расположены почти всюду для каждой .
Частными случаями (1.1) являются
1) решение
задачи теплопроводности
в стержне длины π с постоянным коэффициентом температуропроводности a2 (t>0 – время протекания процесса, – заданное распределение начальных температур,
– синус-коэффициенты Фурье функции f );
2) решение
(1.3)
задачи Дирихле
в полуплоскости (нахождение стационарного распределения температур в точках с заданной на границе
температурой
). Операторы, определяемые соотношением (1.3) известны как средние Пуассона-Абеля ([1], с. 160-165) и играют значительную роль в различных вопросах анализа. Однако, не до конца изучено ([2]) даже наиболее простое и естественное обобщение
(1.4)
средних (1.3) на случай любого . Речь идет, в частности, об (1.4) как решении обобщенной задачи Дирихле в полуплоскости
,
, (1.5)
где дифференцирование по х есть соответствующее дробное дифференцирование, а (1.5) понимается как предельное соотношение
(1.6)
(характер сходимости обсуждается ниже).
2. Основной результат
Теорема 2.1.
Пусть и при каждом h>0
. (1.7)
1) Если при всех
и
, то соотношение
(1.8)
имеет место в каждой точке Лебега функции f и равномерно по х для всякой f∈ С2p.
2) Результат (1.8) сохраняется для , если (в дополнение к (1.7) ) существует постоянная
, такая, что при всех
, (1.9)
и функция
(1.10)
имеет на конечное число нулей.
3. Вспомогательные утверждения. Рассмотрим бесконечную произвольную последовательность
, (2.1)
определяемую значениями параметра h>0, и соответствующее семейство линейных средних ряда Фурье произвольной f∈ L2π
.
Последовательность (2.1) называется выпуклой (вогнутой), если
,
где
Последовательность (2.1) кусочно-выпукла, если меняет свой знак конечное число раз,
Поведение линейных средних рядов Фурье, определяемых выпуклыми конечными последовательности изучались в работе С.М. Никольского [3]. В следующем утверждении (имеющем и самостоятельный интерес) некоторые результаты [3] распространяются на «полунепрерывный» случай (2.1).
Лемма 2.1. Пусть последовательность (2.1) выпукла (вогнута) и при каждом ее члены удовлетворяют условиям
(2.2)
и
. (2.3)
Тогда соотношение
(2.4)
имеет место в каждой точке Лебега функции f и равномерно по х для всякой f∈С2p.
Утверждение сохраняется, если последовательность (2.1) кусочно-выпукла, выполнено условие (2.3) и существует постоянная C (зависящая лишь от λ) такая, что при всех
|. (2.5)
Доказательство. Пусть
.
Воспользовавшись интегральной формой (1.1) коэффициентов Фурье и преобразованием Абеля ([1], c.15), запишем
, (2.6)
где
и
– соответственно, ядро Дирихле и ядро Фейера ([1], с.86, 148). Согласно классическим результатам ([1], с.113, 151) для любого в каждой точке Лебега имеют место соотношения
и
при всех значениях k, больших некоторого ; постоянная С в первом из неравенств не зависит от k. Учитывая (2.3), очевидные оценки
и
и считая, что
в (2.5), получим теперь, что модуль выражения, записанного под знаком предела в (2.6), не превосходит суммы
. (2.7)
Далее, согласно (2.2), при
и
. Кроме того, для выпуклой последовательности при каждом
имеют место соотношения ([1], с. 155-156)
,
при
(2.8)
и (в силу преобразования Абеля)
; (2.9)
в (2.8) т и п – любые натуральные числа, причем m<n
В частности, согласно (2.9), (2.3) и (2.8)
,
и теперь из (2.6) вытекает, что
.
Отсюда, ввиду произвольности ε, и следует выполнимость соотношения (2.4) в каждой точке Лебега.
Далее, согласно преобразованиям типа (2.6) и соотношениям (2.3), (2.8), (2.9) для нормы каждого из операторов
, действующего из С2p в С2p справедлива оценка
,
где постоянная С зависит лишь от l. Следовательно, равномерная по х сходимость (2.4) имеет место в силу теоремы Банаха-Штейнгауза.
Если же последовательность L кусочно-выпукла, так что сохраняет свой знак при
для некоторых натуральных m и n, то сумма
равна конечному числу (числу перемен знаков последовательности
) блоков-слагаемых, каждый из которых имеет вид (2.9); преобразование суммы (2.9) с
предполагает использование соотношения (2.8). Остается применить к полученным слагаемым оценку (2.5) и повторить рассуждения, использованные в случае выпуклой (вогнутой) последовательности (2.1). Лемма полностью доказана.
4. Доказательство теоремы 2.1. Пусть теперь
,
,
(4.1)
В этом случае, согласно (4.1),
, (4.2)
где определена соотношением (1.10).
Если и
, то согласно (4.2), последовательность (4.1), оказывается выпуклой, а значит, к ней применима лемма 3.1; при этом условие (2.3) выполнено в виде (1.7). Первая часть теоремы 2.1 доказана.
Для доказательства второй части заметим, прежде всего, что сформулированное условие на функцию V(x) в (1.10) обеспечивают кусочную выпуклость последовательности (4.1). Действительно, пусть, например, V(x) знакопостоянна при (т и п – некоторые неотрицательные целые числа). Применим к
, как функции от х, дважды теорему Лагранжа: первый раз на отрезке [k, k+1], так что
, (4.3)
а второй раз на отрезке :
, (4.4)
где . При
будем иметь
, где
а значит, вторые разности (4.4) в сумме вида (2.9) будут знакопостоянными. Поскольку число интервалов с целочисленными концами, на которых V(x) знакопостоянна, является конечным, то и
имеет конечное число перемен знака. Условие же (1.9) является достаточным (см. (4.3)) для выполнимости соотношения (2.5). Этим и заканчивается доказательство теоремы 2.1.
5. Примеры.
5.1. Пусть так что
. (5.1)
При этом (см. (2.3)) если
, в чем можно легко убедиться, применяя правило Лопиталя n раз, где n – наименьшее натуральное число, для которого
Следовательно, при
для случая (5.1) выполнены условия п.1 теоремы 2.1, и, следовательно, справедливо ее утверждение. Если же
, то
и выражение в скобках возрастает с ростом х, а значит, обращается в ноль ровно при одном значении х. Следовательно, соответствующая последовательность (4.1) кусочно-выпукла. Остается проверить, что (см. (2.5), (1.9)) при всех
что очевидно для и остается справедливым для
, поскольку функция
ограничена вместе с функцией вида
Итак, утверждения теоремы 2.1 справедливы для случая (5.1) при всех В частности, (случай α=1) сумма ряда
при стремится к значениям f(x) для почти всех х (
) и равномерно по х в случае f∈С2π
5.2. Пусть так что
(5.2)
В этом случае получаем обобщенные средние Пуассона (1.4); классические средние Пуассона соответствуют случаю и
Очевидно, что если
, т.е. выполнено условие (1.7), а тогда при
для случая (5.2) справедливо утверждение теоремы 2.1. Если же
, то функция
обращается в ноль ровно при одном значении х. Следовательно, соответствующая последовательность (4.1) кусочно-выпукла. Остается проверить, что (см. (2.5), (1.9)) при всех
,
что очевидно, поскольку функция ограничена при всех
Следовательно, утверждения теоремы 2.1 справедливы для случая (5.2) при всех В частности, получаем, что средние (1.4) служат решением обобщенной задачи Дирихле (п. 1), причем граничное условие (1.5) выполняется в виде (1.6) в каждой точке Лебега функции
и равномерно по x для всякой f∈С2p.
Близким к рассмотренному является пример полиномиально-экспоненциального метода суммирования, определяемого (см. (4.1)) функцией
, (5.3)
где – произвольный многочлен n-й степени,
Функция
принимает только положительные значения при достаточно больших х; в частности, существует постоянная C>0, такая, что
при всех
В силу (5.3)
, причем
. (5.4)
Многочлен (5.4) имеет степень 2n – 2, так что меняет знак не более 2n – 2 раз. Следовательно, выполнено условие кусочной выпуклости последовательности (4.1).
Проверим условия (1.9). Имеем в левой части (1.9)
. (5.5)
Здесь дробь , в которой
, ограничена, поскольку отношение старших коэффициентов многочленов
равно n. Первая же дробь в (5.5) ограничена, поскольку она имеет вид
Следовательно, все произведения (5.5) ограничены некоторой постоянной.
Итак, условия теоремы 2.1 выполнены для полиномиально-экспоненциальных средних, определяемых функцией (5.3), а значит и в этом случае справедливо ее утверждение.
Заметим, что даже частные случаи основного утверждения (п.2) настоящей работы, исследованные в п.5, являются новыми и представляют самостоятельный интерес.
Библиографическая ссылка
Нахман А.Д., Осиленкер Б.П. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 3-2. – С. 75-80;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=4841 (дата обращения: 17.08.2024).