Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,839

ЗАДАЧА О ЛОТОСЕ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Горяев В.М. 1
1 Калмыцкий государственный университет

Одним из самым парадоксальным примеров среди решений задач с пифагоровыми тройками – это решение американского изобретателю многочисленных математических и шахматных головоломок Сэма Ллойда, он решает задачу У.Лонгфелло из романа «Каванаг» по своему.

Условие из романа: цветок лотоса возвышается над поверхностью озера на 2 пяди дюймов, а максимальное отклонение равно локтю, т.е. 21 дюйму. Надо также найти глубину озера. Ответ:17,05 дюйма.

5762.jpg

5750.jpg

Решение С.Ллойда:

1.21×21=441

2.441:10=44,1

3.44,1-10=34,1

4.34,1:2=17,05 (дюймов).

Треугольник Лонгфелло-Ллойда имеет параметры (21; 17,05; 27,05) или умножив на 20 получим треугольник в целых числах - (341,420,541), где 341 и 541 - простые числа, а 420 кратно 60, т.е. делится одновременно на 3,4,5.

Удивительно, но эти целочисленные параметры получаются непосредственно из формул, при m=21, n=10:

a=m2-n2=212-102=341

b=2mn-2×21×10=420

c=m2+n2=212+102=541 (!).

В матрице много пустых клеток, которые являются следствием общей теоремы о пифагоровых тройках чисел.

Если m=5 и n=1, то a=24, b=10, c=26.

где (10,24,26)~(5,12,13).

Современная французская версия задачи «О лотосе» дана в книге М. Беррандо как задача «О нефтяной вышке».

Треугольник (17,21,27)

В Северном море установили на тяжелой бетонной платформе, закрепленной на дне моря, нефтяную буровую вышку. Она возвышалась над гладью воды на h=40 м. Во время сильного шторма вышка опрокинулась. Катастрофа была заснята с соседней платформы, причем было замечено, что вышка исчезла в пучине в s=84 м от точки, где прежде поднималась вышка. Чему равна глубина в этом месте?

463979.PNG

Легко заметить, что пара чисел из условия задачи (40,84) пропорциональны паре (10,21) из задачи Лонгфелло. Отсюда естественный вывод, что глубина моря, где стояла нефтяная вышка, равна: 4×17,05=68,2 (метра).

Заключение. Теорема Пифагора как фундаментальный факт обладает значительным дидактическим ресурсом обновления содержания образования в 5-6 классах, позволяющим органично связать теорему с понятием простого и составного числа, признаками делимости на 3, 4, 5, введением понятия подобия геометрических фигур в начальный курс математики 5 и 6 классов. Это может в действительности стать основой интегративного курса математики, объединяющего геометрические и алгебраические компоненты единого математического знания.

По аналогии с американской версией задачи «о лотосе» можно составить задачу о камыше.

5729.jpg

Треугольник (7,24,25)

1.7×7=49

2.49:1=49

3.49-1=48

4.42:2=24 (дм)

Алгебраически при m=7 b n=1 получим:

5719.jpg(14,48,50) ~ (7,24,25)

В учебнике для 8-го класса П.М. и О.П. Эрдниевых вводится признак Пифагора (упоминался ранее в работах Мордухай-Ботовского).

Признак Пифагора:

Если a < b < c, и 5710.jpg, то Δ – тупоугольный

Δ – прямоугольный

Δ – остроугольный

Рассмотрим квазипериодическую матрицу

а

b

c

 

1

2

3

Не существует

2

3

4

Тупоугольный

3

4

5

Прямоугольный (египетский)

4

5

6

Остроугольный

Оказывается, что (2,3,4) – это единственный тупоугольный треугольник, у которого параметры a=n-1, b=n, c=n+1.

Если у целочисленного треугольника со сторонами n-1, n, n+1 и углом 5691.jpg, то такой треугольник единственный с параметрами 4,5,6.

Следует заметить, что эти целочисленные треугольники применялись томским академиком Ильиным в доказательстве теоремы Ферма для xn+yn=zn , при n ≥ 3 не имеющего целочисленного решения.


Библиографическая ссылка

Горяев В.М. ЗАДАЧА О ЛОТОСЕ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 2-1. – С. 61-62;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=6425 (дата обращения: 28.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074