В данной работе показывается получение основных уравнений гидродинамики [1] в рамках формальной единой структуры, определяемой координатами Эйлера.
Для описания состояния некоторой системы используется произвольная функция в координатах Эйлера
и
.
Эволюция систем во времени обеспечивается полной производной по времени:
, (1)
где − скорость,
− сила и
− интеграл столкновений, формализующий эволюцию систем из равновесного состояния в неравновесное состояние и обратно. Так при
система находится в состоянии равновесия, при
>0 − система неравновесна.
Уравнение непрерывности. В данном случае в (1) возможно аппроксимация как плотности массы при
:
, (2)
где − сила;
− импульс. Тогда выражение (2) примет вид
.
Поскольку , то второе слагаемое
. Следовательно,
. При подстановки данного выражения в (2) и с последующим использованием теоремы о перебросе производной, получим
.
При приводим (2) к уравнению непрерывности:
. (3)
В сокращенном виде:
,
где − плотность потока жидкости.
Уравнение движения в гидродинамике. Решение данной задачи требует в (1) представления как гидродинамического импульса. При этом
− плотность жидкости. Тогда
. (4)
В гидродинамике, силу представляют в виде градиента давления
если движение жидкости происходит только лишь под действием давления
:
.
Для движения реальной жидкости надо учитывать еще и гравитационную силу Ньютона , где
− потенциальная энергия единицы массы жидкости и силу сопротивления в виде силы вязкости
, где
− вязкость. Для многих задач, особенно при малых скоростях
, можно считать жидкость несжимаемой
. При этих условиях, уравнение движения приобретает следующий вид:
. (5)
Данное выражение можно представить в форме:
. (6)
Уравнение Навье-Стокса. Данное уравнение является основным в гидродинамике. Оно описывает зависимость скорости движения жидкости от различных факторов, рассмотренных выше. Очевидно, что (6) можно дать в виде:
, (7)
где − удельная вязкость. Для вывода уравнения Навье-Стокса необходимо воспользоваться некоторыми правилами векторного анализа для слагаемого
:
. (8)
Здесь − векторный потенциал вихревого поля скорости
и
− скалярное произведение двух векторов
.
Таким образом, равенство (7) можно представить, с учетом (8), в стандартной форме уравнения Навье-Стокса:
. (9)
Уравнение Бернулли. Это уравнение описывает стационарный поток жидкости при , отсутствии турбулентности
и силы вязкости
. Тогда упрощение по
уравнения (9) дает уравнение или теорему Бернулли:
. (10)
Уравнение Эйлера. Данное уравнение является уравнением идеальной жидкости, для которой в выражении (9):
,
и
.
Таким образом,
. (11)
Уравнение гидростатики. Гидростатика предполагает, что в выражении (9) во всех слагаемых . Тогда оно приобретает вид:
. (12)
Таким образом, все базовые уравнения гидродинамики имеют одну и ту же формальную основу в виде соотношения (1).
Библиографическая ссылка
Балданова Д.М., Танганов Б.Б. БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В КООРДИНАТАХ ЭЙЛЕРА // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 8-1. – С. 127-128;URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7851 (дата обращения: 16.08.2024).